Toán 9 Số hữu tỉ và số vô tỉ

[Vinhtrong2601]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mọi người giúp em câu này với ạ. Em cảm ơn!
Chứng minh rằng nếu [tex]x - \frac{1}{x}[/tex] là số nguyên và [tex]x[/tex] khác [tex]\pm 1[/tex] thì [tex]x[/tex] và [tex]x + \frac{1}{x}[/tex] là số vô tỉ. Khi đó [tex](x + \frac{1}{x})^{2n}[/tex] và [tex]\left (x + \frac{1}{x} \right )^{2n + 1}[/tex] là số hữu tỉ hay số vô tỉ?

 

[Tiểu Bạch Lang]

Giả sử x là số hữu tỉ nên đặt [tex]x=\frac{a}{b}[/tex] ( a,b nguyên, nguyên tố cùng nhau)
Ta có [tex]x-\frac{1}{x}=\frac{a^2-b^2}{ab}[/tex]
[tex]\Rightarrow a^2-b^2\vdots a\Rightarrow b^2\vdots a[/tex]
Mà a,b nguyên tố cùng nhau nên [tex]a=\pm 1[/tex]
Tương tự có [tex]b=\pm 1[/tex]
[tex]\Rightarrow x=\pm 1[/tex] (mâu thuẫn)
Vậy x là số vô tỉ nên [tex]\frac{1}{x}[/tex] là số vô tỉ.
Có [tex]x+\frac{1}{x}=2x-(x-\frac{1}{x})[/tex] nên [tex](x+\frac{1}{x})[/tex] là số vô tỉ
Có[tex](x+\frac{1}{x})^2=(x-\frac{1}{x})^2+4[/tex] là số nguyên
[tex]\Rightarrow (x+\frac{1}{x})^{2n}[/tex] là số hữu tỉ
[tex]\Rightarrow (x+\frac{1}{x})^{2n+1}=(x+\frac{1}{x})(x+\frac{1}{x})^{2n}[/tex] là số vô tỉ
Có gì không hiểu em hỏi lại nhé!