View attachment 214872
Cho k, n là các số nguyên dương với n > 2. Chứng minh rằng phương trình x^n-y^n=2^k ko có nghiệm nguyên dương
_Error404_Giả sử tồn tại cặp nghiệm nguyên dương [imath](x,y)[/imath] thỏa mãn đề bài.
Dễ thấy [imath]x>y[/imath].
Nếu [imath]d=(x,y)[/imath] thì [imath]d \mid 2^k[/imath] nên bằng cách chia cả [imath]2[/imath] vế cho [imath]d^n[/imath] thì ta có thể đưa về [imath](x,y)=1[/imath].
Từ đó ta thấy nếu [imath]2 \mid x[/imath] thì [imath]2\mid y[/imath](mâu thuẫn) nên [imath]x,y[/imath] đều phải lẻ.
Xét các trường hợp:
+ [imath]2 \nmid n[/imath]
Áp dụng định lý LTE ta có [imath]k=v_2(x^n-y^n)=v_2(x-y)[/imath]. Khi đó [imath]2^k \mid x-y[/imath] và [imath]x-y>0[/imath] nên [imath]x-y \geq 2^k[/imath].
[imath]\Rightarrow 2^k=x^n-y^n>x-y \geq 2^k[/imath] (vô lí)
+ [imath]2 \mid n[/imath]. Đặt [imath]n=2m (m \in \mathbb{N}^*,m>1)[/imath]
Ta có [imath](x^m-y^m)(x^m+y^m)=2^k[/imath] và [imath](x^m-y^m,x^m+y^m)=(2x^m,2y^m)=2[/imath] nên tồn tại [imath]1[/imath] trong [imath]2[/imath] số [imath]v_2(x^m-y^m),v_2(x^m+y^m)[/imath] phải bằng [imath]1[/imath].
Mà [imath]x^m-y^m \mid 2^k, x^m+y^m \mid 2^k[/imath] và x^m+y^m>x^m-y^m[imath]nên từ đó[/imath]x^m-y^m=2$.
Mặt khác, vì [imath]x,y[/imath] lẻ và [imath]x>y[/imath] nên [imath]x-y \geq 2 \Rightarrow x^m-y^m>x-y \geq 2[/imath] nên ta có sự mâu thuẫn.
Vậy điều ta giả sử sai hay điều phải chứng minh đúng.
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
Đề thi ôn tập chọn HSGQG
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
