Toán 9 Số học

[Edgarnguyen248]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

a) Tim tất cả các bộ số nguyên dương phân biệt (a, b, c) thỏa mãn tổng của hai số bất kì trong ba số chia hết cho số còn lại
b) Cho n [math]\geq[/math] 3 là số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương phân biệt sao cho tổng của n - 1 số bất kì trong n số chia hết cho số còn lại

 

[2712-0-3]

a) Tim tất cả các bộ số nguyên dương phân biệt (a, b, c) thỏa mãn tổng của hai số bất kì trong ba số chia hết cho số còn lại
b) Cho n [math]\geq[/math] 3 là số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương phân biệt sao cho tổng của n - 1 số bất kì trong n số chia hết cho số còn lại

doanhnhannguyenthinh@gmail.coma) Ta giả sử [imath]a> b > c[/imath]
Ta có: [imath]b+c[/imath] chia hết cho [imath]a \Rightarrow b+c= ak[/imath] với k là số nguyên dương
Mà [imath]b+c < 2a ; b+c > 0a \Rightarrow 0<k<2 \Rightarrow k=1[/imath]
Hay [imath]b+c=a[/imath]
Mà [imath]a+b[/imath] chia hết cho [imath]c[/imath] ; [imath]c+a[/imath] chia hết cho [imath]b[/imath] nên [imath]a+b+c[/imath] chia hết cho [imath]b,c[/imath] hay [imath]2a[/imath] chia hết [imath]b,c[/imath]
Đặt [imath]2a=bx; 2a= cy \Rightarrow 2b +2c =bx =cy[/imath] (với x,y nguyên dương)
Mà [imath]b>c \Rightarrow 2b < 2b+2c =bx < 4b \Rightarrow x=3[/imath]
[imath]\Rightarrow 2b+2c =3b \Rightarrow b=2c \Rightarrow a = 3c[/imath]
Thử lại thấy thỏa mãn
Vậy (a,b,c) dạng [imath](3c,2c,c)[/imath] và hoán vị đều thỏa mãn .

Ngoài ra mời bạn tham khảo: [Bài tập] Chuyên đề HSG: Số học

 

[2712-0-3]

a) Tim tất cả các bộ số nguyên dương phân biệt (a, b, c) thỏa mãn tổng của hai số bất kì trong ba số chia hết cho số còn lại
b) Cho n [math]\geq[/math] 3 là số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương phân biệt sao cho tổng của n - 1 số bất kì trong n số chia hết cho số còn lại

doanhnhannguyenthinh@gmail.comb) Điều kiện đề tương đương, tổng n số nguyên dương chia hết cho bất kì 1 trong n số đó.
Hay [imath]S_n = a_1 + a_2 +\cdots +a_{n}[/imath] chia hết cho [imath]a_i[/imath] với [imath]i : 1 \rightarrow n[/imath]
Ta chứng minh theo quy nạp:
Với [imath]n=3[/imath], bài toán luôn đúng do phần a)
Giả sử bài toán đúng với n, ta chứng minh đúng với [imath]n+1[/imath]:
Dễ thấy ta chọn [imath]a_{n+1} = S_n \Rightarrow S_{n+1} =2 S_n[/imath] chia hết cho [imath]a_1 \rightarrow a_n[/imath], và cũng chia hết cho [imath]a_{n+1} = S_n[/imath]
Vậy theo quy nạp bài toán được chứng minh.

Ngoai ra moi ban tham khao tai [Bài tập] Chuyên đề HSG: Số học

 

[7 1 2 5]

a) Tim tất cả các bộ số nguyên dương phân biệt (a, b, c) thỏa mãn tổng của hai số bất kì trong ba số chia hết cho số còn lại
b) Cho n [math]\geq[/math] 3 là số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương phân biệt sao cho tổng của n - 1 số bất kì trong n số chia hết cho số còn lại

doanhnhannguyenthinh@gmail.comb) Ta chứng minh bằng quy nạp. Dễ thấy [imath]n=3[/imath] thỏa mãn.
Giả sử đpcm đúng với [imath]n=k[/imath]. Khi đó tồn tại [imath]k[/imath] số nguyên dương phân biệt [imath]a_1,a_2,...,a_k[/imath] thỏa mãn.
Xét [imath]k+1[/imath] số : [imath]a_1,a_2,...,a_k,a_1+a_2+...+a_{k}[/imath]
Nhận thấy tổng [imath]k[/imath] số bất kỳ luôn chia hết cho số còn lại. Vậy đpcm đúng với [imath]n=k+1[/imath].
Theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm.

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
[Bài tập] Chuyên đề HSG: Số học

 

[2712-0-3]

b) Ta chứng minh bằng quy nạp. Dễ thấy [imath]n=3[/imath] thỏa mãn.
Giả sử đpcm đúng với [imath]n=k[/imath]. Khi đó tồn tại [imath]k[/imath] số nguyên dương phân biệt [imath]a_1,a_2,...,a_k[/imath] thỏa mãn.
Xét [imath]k+1[/imath] số : [imath]a_1,a_2,...,a_k,a_1a_2...a_{k}[/imath]
Nhận thấy tổng [imath]k[/imath] số bất kỳ luôn chia hết cho số còn lại. Vậy đpcm đúng với [imath]n=k+1[/imath].
Theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm.

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
[Bài tập] Chuyên đề HSG: Số học

Mộc Nhãnsao số cuối là tích á anh, hmm em nghĩ là tổng chứ

 

[7 1 2 5]

sao số cuối là tích á anh, hmm em nghĩ là tổng chứ

HT2k02(Re-kido)Hmm, chắc là tổng á, anh nhầm :v