2. Đặt [imath]a=2^m-x,b=2^n-y,c=2^n+y,d=2^m+x[/imath] với [imath]x,y,m,n \geq 1[/imath]
Nhận thấy với [imath]ad=bc,a<b<c<d \Rightarrow a+d>b+c \Rightarrow 2^{m+1} >2^{n+1} \Rightarrow m>n[/imath]
Ta có [imath]ad=bc \Rightarrow 2^{2m}-x^2=2^{2n}-y^2[/imath]
[imath]\Rightarrow x^2-y^2=2^{2m}-2^{2n}=2^{2n}(2^{2m-2n}-1)[/imath]
Vì [imath]a<b \Rightarrow 2^m-x<2^n-y \Rightarrow x-y>2^m-2^n[/imath]
[imath]\Rightarrow x+y<2^m+2^n[/imath]
Mặt khác vì [imath]x-y,x+y[/imath] có 1 số chia hết cho 2 mà không chia hết cho 4 nên giả sử [imath]x-y=2k[/imath] với [imath]k[/imath] lẻ.
Khi đó [imath]x+y=2^{2n-1}q[/imath] với [imath]qk=2^{2m-2n}-1[/imath]
Nếu [imath]q \geq 3[/imath] thì [imath]x+y \geq 3.2^{2n-1}=2^{2n-1}+2^{2n}[/imath]
[imath]\Rightarrow 2^m+2^n>2^{2n}+2^{2n-1} \geq 2^{2n}+2^{n} \Rightarrow m>2n[/imath]
Khi đó [imath]x^2>x^2-y^2=2^{2m}-2^{2n}>2^{2m}-2^{m} \Rightarrow x >2^m-1[/imath]
Lại có [imath]a \geq 1 \Rightarrow x \leq 2^m-1[/imath](mâu thuẫn)
Từ đó [imath]q=1 \Rightarrow k=2^{2m-2n}-1[/imath]
Suy ra [imath]x=2^{2m-2n}+2^{2n-2}-1[/imath]
Vì [imath]x+1 \leq 2^m \Rightarrow 2^{2m-2n}+2^{2n-2} \leq 2^m[/imath]
[imath]\Rightarrow 2^m >2^{2n-2} \Rightarrow m > 2n-2 \Rightarrow m \geq 2n-1[/imath]
Mà cũng từ trên thì [imath]m < 2n[/imath](vì nếu [imath]m \geq 2n[/imath] thì chứng minh như trên ta có mâu thuẫn)
Suy ra [imath]m=2n-1 \Rightarrow x=2^m-1 \Rightarrow a=1[/imath]
Nếu [imath]x+y=2k[/imath] với [imath]k[/imath] lẻ thì [imath]x-y=2^{2n-1}q[/imath]
Vì [imath]x-y>2^m-2^n \Rightarrow 2^{2n-1}q >2^m-2^n[/imath]
[imath]\Rightarrow q>2^{m+1-2n}-\dfrac{1}{2^{n-1}}[/imath]
Mà [imath]q \in \mathbb{N}, q \not \vdots 2 \Rightarrow q \geq 2^{m+1-2n}+1[/imath]
[imath]\Rightarrow x-y=2^{2n-1}q \geq 2^{m}+2^{2n-1} \geq 2^m+2^n[/imath]
[imath]\Rightarrow x+y \leq 2^m-2^n < 2^m+2^n \leq x-y[/imath](mâu thuẫn)
Từ đó ta có đpcm.
3. Vì [imath]7d_5+8d_7=3n[/imath] nên [imath]8d_7 \vdots d_5, 7d_5 \vdots d_7[/imath]
Xét 2 trường hợp:
+ [imath]n \not \vdots 2[/imath]
Khi đó mọi ước của [imath]n[/imath] đều lẻ nên [imath](d_5,2)=1 \Rightarrow d_7 \vdots d_5[/imath]
Mà [imath]7d_5 \vdots d_7[/imath] và [imath]d_5<d_7 \Rightarrow 7d_5=d_7[/imath]
[imath]\Rightarrow 63d_5=3n \Rightarrow n=21d_5[/imath]
Từ đó [imath]3,7,21[/imath] là ước của [imath]n[/imath]. Mà [imath]d_5>40 \Rightarrow d_2=3,d_3=7,d_4=21 \Rightarrow d_5=47 \Rightarrow n=987[/imath]
+ [imath]n \vdots 2[/imath]
Khi đó [imath]d_2=2[/imath]. Mà [imath]7d_5+8d_7=3n \vdots 2 \Rightarrow d_5 \vdots 2 \Rightarrow d_3 \vdots 2[/imath]
Từ đó [imath]d_3=4[/imath] hoặc [imath]d_3=2k[/imath] với [imath]k[/imath] lẻ. Nếu [imath]d_3=2k[/imath] với [imath]k[/imath] lẻ thì [imath]d_2<k<d_3[/imath](mâu thuẫn)
Suy ra [imath]d_3=4 \Rightarrow d_5=44[/imath]
Từ đó [imath]11,22[/imath] cũng là ước của [imath]n[/imath] mà [imath]d_3<11<22<d_5[/imath] nên mâu thuẫn.
Vậy [imath]n=987[/imath]
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
[Lý thuyết] Chuyên đề Số học
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
