Toán 9 Số học

_Error404_

Học sinh chăm học
Thành viên
20 Tháng hai 2020
333
312
76
17
Hà Tĩnh
THCS Lê Văn Thiêm
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Tìm n nguyên dương để tổng sau là số chính phương A=5n+n2+88A= 5^n+n^2+88
Bài 2: Cho số nguyên dương a,b thỏa mãn a2+ab+b2ab+1=k\frac{a^2+ab+b^2}{ab+1}=k là số nguyên dương. Cmr k là scp
@kido2006 @Mộc Nhãn
 
Last edited by a moderator:

2712-0-3

Cựu TMod Toán
Thành viên
5 Tháng bảy 2021
1,068
1,741
206
Bắc Ninh
THPT đợi thi
Bài 1: Tìm n nguyên dương để tổng sau là số chính phương A=5n+n2+88A= 5^n+n^2+88
Bài 2: Cho số nguyên dương a,b thỏa mãn a2+ab+b2ab+1=k\frac{a^2+ab+b^2}{ab+1}=k là số nguyên dương. Cmr k là scp
@kido2006 @Mộc Nhãn
Nguyễn Phúc LươngCâu 2 là dạng của bài toán sử dụng Viet Jumping (bước nhảy Viet) (bài nổi tiếng nhất chắc là IMO 1988 tại có GS Ngô Bảo Châu đoàn VN giải bài đó)
Dễ thấy kNk\in \mathbb{N}^*
Giả sử tồn tại 2 số nguyên dương (a0,b0)(a_0,b_0) thỏa mãn phương trình sao cho a0b0a_0\geq b_0a0+b0a_0+b_0 đạt giá trị nhỏ nhất.
Khi đó, ta biến đổi được:
a02+a0(b0kb0)+(b02k)=1a_0^2 + a_0(b_0-kb_0) + (b_0^2-k)=1 (1)
Ta thấy (1) là phương trình bậc 2 ẩn a có một nghiệm a0a_0 thỏa mãn nên theo định lý Viet:
Tồn tại a1a_1 sao cho a0+a1=kb0b0;a0a1=b02ka_0 + a_1 = kb_0 - b_0; a_0 a_1 = b_0^2 - k
Từ đó ta có được a1Za_1 \in \mathbb{Z}
** Nếu a110a_1 \leq -1 0:
Ta có: 0=a12+a1(b0kb0)+b02ka12+kb0b0+b02k=a12+k(b01)+b0(b01)>00 = a_1^2 + a_1 (b_0 - kb_0) + b_0^2 - k \geq a_1^2 + kb_0 - b_0 + b_0^2 - k = a_1^2 + k(b_0-1) + b_0(b_0-1) >0 (vô lý)
** Nếu a1=0k=b02a_1 = 0 \Rightarrow k =b_0^2 là một số chính phương.
** Nếu a11(a1,b0)a_1 \geq 1 \Rightarrow (a_1,b_0) cũng là một bộ nghiệm nguyên dương thỏa mãn phương trình.
Suy ra a1+b0a0+b0a1a0a_1 + b_0 \geq a_0 +b_0 \Rightarrow a_1 \geq a_0
Ta lại có, từ định lý Viet suy ra: a02a0a1=b02k<b02a0<b0a_0^2 \geq a_0a_1 = b_0^2 - k < b_0^2 \Rightarrow a_ 0 < b_0 (trái giả thiết)
Vậy ta có k luôn là số chính phương.

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^
Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ kiến thức học tốt các môn dành cho bạn. Hoàn toàn miễn phí!
 

kido2006

Cựu TMod Toán
Thành viên
26 Tháng một 2018
1,693
2
2,653
401
Bắc Ninh
THPT Chuyên Bắc Ninh
Bài 1: Tìm n nguyên dương để tổng sau là số chính phương A=5n+n2+88A= 5^n+n^2+88
Bài 2: Cho số nguyên dương a,b thỏa mãn a2+ab+b2ab+1=k\frac{a^2+ab+b^2}{ab+1}=k là số nguyên dương. Cmr k là scp
@kido2006 @Mộc Nhãn
Nguyễn Phúc LươngBài 1:
Xét n=2a(aN)n=2a (a \in \mathbb{N}^*)
Khi đó A=5n+n2+88=25a+4a2+88>(5a)2A= 5^n+n^2+88=25^a+4a^2+88>(5^a)^2
+,Xét a3a \ge 3
Ta đi chứng minh 5a2a2+1075^a \ge 2a^2+107
Thật vậy với a=3;4;5a=3;4;5 thì BĐT đúng
Giả sử BĐT trên đúng với a=ka=k ta đi chứng minh với a=k+1a=k+1 thì BĐT cũng đúng
Thật vậy điều cần chứng minh trở thành 5k+4.5k2k2+4k+2+1075^k+4.5^k \ge 2k^2+4k+2+107
Hay 4.5k4k+24.5^k \ge 4k+2
Điều này đúng do 4.5k8k2+4284k+24.5^k \ge 8k^2+428 \ge 4k+2
Vậy 5a2a2+1075^a \ge 2a^2+107 do đó (5a+2)2>A(5^a+2)^2 > A
(5a+2)2>A>(5a)2\Rightarrow (5^a+2)^2 > A> \left (5^a \right )^2
(5a+1)2=A\Rightarrow (5^a+1)^2 = A
87+4a2=2.5a0(mod2)\Leftrightarrow 87+4a^2=2.5^a\equiv 0(mod2) (vô lí)
Do đó 0<a<30< a < 3 n={2;4}\Rightarrow n=\left \{ 2;4 \right \}
Thử lại nhận n=4n=4

Xét n=2a+1(aN)n=2a+1 (a \in \mathbb{N}^*)
Khi đó A=5n+n2+88=52a+1+4a2+4a+892(mod4)A= 5^n+n^2+88=5^{2a+1}+4a^2+4a+89\equiv 2(mod4) (vô lí do số chính phương chia 4 dư 0;1)

Vậy n=4n=4

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^
Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ kiến thức học tốt các môn dành cho bạn. Hoàn toàn miễn phí!
 
Top Bottom