Bài 1: Tìm n nguyên dương để tổng sau là số chính phương
A=5n+n2+88
Bài 2: Cho số nguyên dương a,b thỏa mãn
ab+1a2+ab+b2=k là số nguyên dương. Cmr k là scp
@kido2006 @Mộc Nhãn
Nguyễn Phúc LươngCâu 2 là dạng của bài toán sử dụng Viet Jumping (bước nhảy Viet) (bài nổi tiếng nhất chắc là IMO 1988 tại có GS Ngô Bảo Châu đoàn VN giải bài đó)
Dễ thấy
k∈N∗
Giả sử tồn tại 2 số nguyên dương
(a0,b0) thỏa mãn phương trình sao cho
a0≥b0 và
a0+b0 đạt giá trị nhỏ nhất.
Khi đó, ta biến đổi được:
a02+a0(b0−kb0)+(b02−k)=1 (1)
Ta thấy (1) là phương trình bậc 2 ẩn a có một nghiệm
a0 thỏa mãn nên theo định lý Viet:
Tồn tại
a1 sao cho
a0+a1=kb0−b0;a0a1=b02−k
Từ đó ta có được
a1∈Z
** Nếu
a1≤−10:
Ta có:
0=a12+a1(b0−kb0)+b02−k≥a12+kb0−b0+b02−k=a12+k(b0−1)+b0(b0−1)>0 (vô lý)
** Nếu
a1=0⇒k=b02 là một số chính phương.
** Nếu
a1≥1⇒(a1,b0) cũng là một bộ nghiệm nguyên dương thỏa mãn phương trình.
Suy ra
a1+b0≥a0+b0⇒a1≥a0
Ta lại có, từ định lý Viet suy ra:
a02≥a0a1=b02−k<b02⇒a0<b0 (trái giả thiết)
Vậy ta có k luôn là số chính phương.
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^
Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ kiến thức học tốt các môn dành cho bạn. Hoàn toàn miễn phí!