Toán 9 Số học

[_Error404_]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Tìm n nguyên dương để tổng sau là số chính phương [imath]A= 5^n+n^2+88[/imath]
Bài 2: Cho số nguyên dương a,b thỏa mãn [math]\frac{a^2+ab+b^2}{ab+1}=k[/math] là số nguyên dương. Cmr k là scp
@kido2006 @Mộc Nhãn

 

[2712-0-3]

Bài 1: Tìm n nguyên dương để tổng sau là số chính phương [imath]A= 5^n+n^2+88[/imath]
Bài 2: Cho số nguyên dương a,b thỏa mãn [math]\frac{a^2+ab+b^2}{ab+1}=k[/math] là số nguyên dương. Cmr k là scp
@kido2006 @Mộc Nhãn

Nguyễn Phúc LươngCâu 2 là dạng của bài toán sử dụng Viet Jumping (bước nhảy Viet) (bài nổi tiếng nhất chắc là IMO 1988 tại có GS Ngô Bảo Châu đoàn VN giải bài đó)
Dễ thấy [imath]k\in \mathbb{N}^*[/imath]
Giả sử tồn tại 2 số nguyên dương [imath](a_0,b_0)[/imath] thỏa mãn phương trình sao cho [imath]a_0\geq b_0[/imath] và [imath]a_0+b_0[/imath] đạt giá trị nhỏ nhất.
Khi đó, ta biến đổi được:
[imath]a_0^2 + a_0(b_0-kb_0) + (b_0^2-k)=1[/imath] (1)
Ta thấy (1) là phương trình bậc 2 ẩn a có một nghiệm [imath]a_0[/imath] thỏa mãn nên theo định lý Viet:
Tồn tại [imath]a_1[/imath] sao cho [imath]a_0 + a_1 = kb_0 - b_0; a_0 a_1 = b_0^2 - k[/imath]
Từ đó ta có được [imath]a_1 \in \mathbb{Z}[/imath]
** Nếu [imath]a_1 \leq -1 0[/imath]:
Ta có: [imath]0 = a_1^2 + a_1 (b_0 - kb_0) + b_0^2 - k \geq a_1^2 + kb_0 - b_0 + b_0^2 - k = a_1^2 + k(b_0-1) + b_0(b_0-1) >0[/imath] (vô lý)
** Nếu [imath]a_1 = 0 \Rightarrow k =b_0^2[/imath] là một số chính phương.
** Nếu [imath]a_1 \geq 1 \Rightarrow (a_1,b_0)[/imath] cũng là một bộ nghiệm nguyên dương thỏa mãn phương trình.
Suy ra [imath]a_1 + b_0 \geq a_0 +b_0 \Rightarrow a_1 \geq a_0[/imath]
Ta lại có, từ định lý Viet suy ra: [imath]a_0^2 \geq a_0a_1 = b_0^2 - k < b_0^2 \Rightarrow a_ 0 < b_0[/imath] (trái giả thiết)
Vậy ta có k luôn là số chính phương.

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^
Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ kiến thức học tốt các môn dành cho bạn. Hoàn toàn miễn phí!

 

[kido2006]

Bài 1: Tìm n nguyên dương để tổng sau là số chính phương [imath]A= 5^n+n^2+88[/imath]
Bài 2: Cho số nguyên dương a,b thỏa mãn [math]\frac{a^2+ab+b^2}{ab+1}=k[/math] là số nguyên dương. Cmr k là scp
@kido2006 @Mộc Nhãn

Nguyễn Phúc LươngBài 1:
Xét [imath]n=2a (a \in \mathbb{N}^*)[/imath]
Khi đó [imath]A= 5^n+n^2+88=25^a+4a^2+88>(5^a)^2[/imath]
+,Xét [imath]a \ge 3[/imath]
Ta đi chứng minh [imath]5^a \ge 2a^2+107[/imath]
Thật vậy với [imath]a=3;4;5[/imath] thì BĐT đúng
Giả sử BĐT trên đúng với [imath]a=k[/imath] ta đi chứng minh với [imath]a=k+1[/imath] thì BĐT cũng đúng
Thật vậy điều cần chứng minh trở thành [imath]5^k+4.5^k \ge 2k^2+4k+2+107[/imath]
Hay [imath]4.5^k \ge 4k+2[/imath]
Điều này đúng do [imath]4.5^k \ge 8k^2+428 \ge 4k+2[/imath]
Vậy [imath]5^a \ge 2a^2+107[/imath] do đó [imath](5^a+2)^2 > A[/imath]
[imath]\Rightarrow (5^a+2)^2 > A> \left (5^a \right )^2[/imath]
[imath]\Rightarrow (5^a+1)^2 = A[/imath]
[imath]\Leftrightarrow 87+4a^2=2.5^a\equiv 0(mod2)[/imath] (vô lí)
Do đó [imath]0< a < 3[/imath] [imath]\Rightarrow n=\left \{ 2;4 \right \}[/imath]
Thử lại nhận [imath]n=4[/imath]

Xét [imath]n=2a+1 (a \in \mathbb{N}^*)[/imath]
Khi đó [imath]A= 5^n+n^2+88=5^{2a+1}+4a^2+4a+89\equiv 2(mod4)[/imath] (vô lí do số chính phương chia 4 dư 0;1)

Vậy [imath]n=4[/imath]

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^
Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ kiến thức học tốt các môn dành cho bạn. Hoàn toàn miễn phí!