Đặt [TEX]4x^n+(x+1)^2=m^2 \Rightarrow 4x^n=(m-x-1)(m+x+1)[/TEX]
Ta thấy [TEX]VT[/TEX] chẵn và [TEX]m-x-1,m+x+1[/TEX] cùng tính chẵn lẻ nên [TEX]m-x-1,m+x+1[/TEX] cùng chẵn.
Gọi [TEX]p[/TEX] là ước nguyên tố chung của [TEX]m-x-1,m+x+1[/TEX].
Khi đó [TEX](m+x+1)-(m-x-1)=2x+2 \vdots p[/TEX] và [TEX]4x^n \vdots p[/TEX]
Nếu [TEX]p \neq 2[/TEX] thì [TEX]x+1 \vdots p, x^n \vdots p \Rightarrow x+1 \vdots p, x \vdots p \Rightarrow p=1[/TEX](mâu thuẫn)
Vậy [TEX]p=2[/TEX] hay [TEX](m-x-1,m+x+1)=2^k(k \geq 1)[/TEX]
Khi đó [TEX]\dfrac{m-x-1}{2^k},\dfrac{m+x+1}{2^k}[/TEX] đều lẻ nên [TEX]\dfrac{m+x+1}{2^k}-\dfrac{m-x-1}{2^k}=\dfrac{x+1}{2^{k-1}}[/TEX] chẵn.
Suy ra [TEX]x+1 \vdots 2^{k-2} \Rightarrow x [/TEX] lẻ
Mà [TEX]m-x-1 \vdots 2^k,m+x+1 \vdots 2^k[/TEX] nên [TEX]4x^n \vdots 2^{2k} \Rightarrow x^n \vdots 2^{2k-2}[/TEX].
Từ đó nếu [TEX]k \geq 2[/TEX] thì [TEX]x[/TEX] chẵn, mâu thuẫn.
Suy ra [TEX]k=1[/TEX]. Đặt [TEX]a=\dfrac{m-x-1}{2},b=\dfrac{m+x+1}{2}[/TEX] thì [TEX]ab=x^n[/TEX] và [TEX](a,b)=1[/TEX]
Khi đó [TEX]a=p^n,b=q^n[/TEX] với [TEX]pq=x,q>p>0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow q^n-p^n=b-a=x+1[/TEX]
Nhận thấy nếu [TEX]n \geq 3[/TEX] thì [TEX]q^n-p^n \geq q^3-p^3=(q-p)(p^2+pq+q^2)\geq x+p^2+q^2>x+1[/TEX]
Từ đó [TEX]n=1[/TEX] hoặc [TEX]n=2[/TEX].
Với [TEX]n=1[/TEX] ta có [TEX]x^2+6x+1=m^2 \Rightarrow (x+3)^2-8=m^2 \Rightarrow (x-m+3)(x+m+3)=8[/TEX]
Vì [TEX](x+m+3)-(x-m+3)=2m \vdots 2[/TEX] nên [TEX]x+m+3=4,x-m+3=2 \Rightarrow m=1,x=0[/TEX](loại)
Với [TEX]n=2[/TEX] ta thấy [TEX]x=2[/TEX] thỏa mãn.
Vậy chỉ có [TEX]n=2[/TEX] thỏa mãn.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
