Tồn tại hay không hai số nguyên dương a và b phân biệt thỏa $a^{n} +n | b^{n}+n$ với mọi số nguyên dương n
Ta có bài toán phụ sau: Cho $p $ là số nguyên tố ; $a \in N$ với $(a;p)=1$ thì [tex]\exists n \in \mathbb{N}:a^n+n\vdots p[/tex]
Chứng minh
[tex]a^n+n\vdots p\Leftrightarrow a^n+n\equiv 0(mod.p)\Leftrightarrow a^n\equiv -n(mod.p)[/tex]
Ta chọn $n=(p-1)(a+1)+1$
Theo định lí Fermat nhỏ thì ta có [tex]a^{p-1}\equiv 1(mod.p)\Leftrightarrow a^{(p-1)(a+1)}\equiv 1(mod.p)\Leftrightarrow a^{(p-1)(a+1)+1}\equiv a(mod.p)\Leftrightarrow a^n\equiv a(mod.p)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow a^n+n\equiv a+n\equiv a+(-a)\equiv 0(mod.p)[/tex] (đpcm)
Thường thì những bài có đề như này sẽ không tồn tại nên
Giả sử tồn tại hai số nguyên dương a và b phân biệt thỏa $a^{n} +n | b^{n}+n$ với mọi số nguyên dương n
Do [tex]a\neq b\Rightarrow b^n+n > a^n +n \Rightarrow b > a[/tex]
Áp dụng bài toán phụ thì tồn tại [tex] p[/tex] là số nguyên tố sao cho [tex]\left\{\begin{matrix} a^n+n\vdots p\\ b^n+n\vdots p \end{matrix}\right.[/tex] với ($p>b>a$)
[tex]\Rightarrow b^n-a^n\equiv 0(mod.p)\Rightarrow b^n\equiv a^n(mod.p)\Rightarrow b-a\equiv 0(mod.p)\Rightarrow b > b-a\geq p > b[/tex] (vô lí)
Do đó giả sử sai
Nếu còn thắc mắc chõ nào thì bảo mình nhé !!
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
