Toán 9 Số học

[kido2006]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1, Chứng minh rằng với số nguyên tố p có dạng p=4k+3 mà [tex]\left\{\begin{matrix} a^2+b^2\vdots p\\ a,b \in\mathbb{Z} \end{matrix}\right.[/tex] thì [tex]\left\{\begin{matrix} a\vdots p\\ b\vdots p \end{matrix}\right.[/tex]

2, Chứng minh rằng [tex]a^2+1[/tex] không có ước nguyên tố dạng 4k+3 ([tex]a \in \mathbb{Z}[/tex] )

@Mộc Nhãn Help me!!

 

[7 1 2 5]

1. Giả sử tồn tại 2 số a,b thỏa mãn [tex]a^2+b^2 \vdots p[/tex] và a,b không chia hết cho p.
Khi đó theo định lí Fermat nhỏ thì [tex]\left\{\begin{matrix} a^{p-1} \equiv 1(modp)\\ b^{p-1}\equiv 1(modp) \end{matrix}\right.\Rightarrow a^{4k+2}+b^{4k+2}\equiv 2(modp)[/tex]
Mà [tex]a^{4k+2}+b^{4k+2}=(a^2)^{2k+1}+(b^2)^{2k+1} \vdots a^2+b^2 \vdots p\Rightarrow 2\vdots p[/tex] (vô lí)
Vậy ta có đpcm.
2. Áp dụng bài 1.