Toán 9 Chứng minh d^2 <= 2a + 3b

[nguyenduykhanhxt]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số nguyên dương a,b thỏa [tex]\frac{a+2}{b}+\frac{b+3}{2}[/tex] là 1 số nguyên dương. Gọi d là ƯCLN của a và b. Chứng minh [tex]d^2\leq 2a+3b[/tex]
Ps Mình thử cm = phản chứng nhưng ko đc
@Mộc Nhãn ,@TranPhuong27

 

[7 1 2 5]

Với b lẻ. Ta thấy [TEX]\frac{b+3}{2}[/TEX] nguyên nên [TEX]\frac{a+2}{b}[/TEX] nguyên hay [tex]a+2 \vdots b \vdots d[/tex]
Mà [tex]a\vdots d\Rightarrow 2\vdots d[/tex]
Lại có b lẻ nên d = 1. Dễ thấy đpcm đúng.
Với b chẵn. Đặt [tex]b=2k \Rightarrow[/tex] [tex]\frac{a+2}{b}+\frac{b+3}{2}=\frac{a+2}{2k}+\frac{2k+3}{2}=k+1+\frac{a+2+k}{2k} \Rightarrow a+2+k \vdots 2k \Rightarrow a+2+k=2mk \Rightarrow a+2=(2m-1)k \Rightarrow 2a+4=(2m-1)2k=(2m-1)b \vdots d[/tex]
Mà [tex]2a\vdots d\Rightarrow 4\vdots d \Rightarrow d \leq 4[/tex]
Ta thấy [tex]2a+3b \geq 5.min(a,b) \geq 5d \geq d^2[/tex](đpcm)