Đặt [tex]2^x+5^y=a^2(a\epsilon \mathbb{N},a>0)[/tex]
Nếu x= 0 thì [tex]1+5^y=a^2[/tex] => a chẵn => a^2 chia hết cho 4 mà [tex]1+5^y\equiv 2(mod 4)[/tex]
=> VT khác VP => vô lý
Do đó x khác 0. Từ [tex]2^x+5^y=a^2[/tex] suy ra k lẻ và k không chia hết cho 5.
+) Nếu y=0 thì [tex]2^x+1=a^2[/tex] => a lẻ
Đặt a= 2m+1 (m nguyên dương)
Khi đó [tex]2^x+1=(2m+1)^2[/tex] [tex]\Leftrightarrow 2^x=4m(m+1)\Rightarrow m=1[/tex]
Khi đó x=3, y=0
Thử lại thấy thỏa mãn.
+) Nếu y khác 0. Vì k lẻ và k không chia hết cho 5 nên [tex]k^2\equiv \pm 1 (mod5)[/tex]
mà [tex]2^x+5^y=a^2[/tex] ; [tex]5^y\equiv 0 (mod 5)[/tex]
[tex]\Rightarrow 2^x\equiv \pm 1 (mod 5)[/tex] nên x chẵn
Đặt x = 2n ( n nguyên dương) Khi đó : [tex]2^{2n}+5^y=k^2\Leftrightarrow 5^y=k^2-(2^n)^2=(k-2^n)(k+2^n)[/tex]
[tex]\Rightarrow \left\{\begin{matrix} k-2^n=5^c & \\ k+2^n=5^d& \end{matrix}\right.[/tex] (c,d nguyên dương, c<d), [tex]c+[/tex] (c+d=y)
[tex]\Rightarrow 2^{n+1}=5^c(5^{d-c}-1)[/tex] [tex]\Rightarrow 5^c =1\Rightarrow c=0[/tex] [tex]\Rightarrow d=y[/tex]
Khi đó : [tex]2^{n+1}=5^y-1[/tex] = [tex]4(5^{y-1}+5^{y-2}+...+5+1)[/tex] (*)
+) Nếu y chẵn thì y=2t. Khi đó [tex]2^{n+1}=5{^2t}-1\vdots 3[/tex] (vô lý)
+) Nếu y=1 thay vào tìm được x=2. Thử lại thấy thỏa mãn
+) Nếu y>1 thì [tex]5^{y-1}+5^{y-2}+...+5+1[/tex] lẻ (vô lý)
Vậy.........
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
