Toán 9 Số học

[Quân (Chắc Chắn Thế)]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho a,b,c hữu tỉ thỏa mãn:

[tex]\frac{1}{a+bc}+\frac{1}{b+ca}=\frac{1}{a+b}[/tex]​

Chứng minh rằng:

[tex]\sqrt{|\frac{c-3}{c+1}|}[/tex] là số hữu tỉ
​

Bài 2: Tìm p nguyên tố sao cho [tex]\frac{p+1}{2};\frac{p^2+1}{2}[/tex] là số chính phương


Giúp em hai câu này với ạ
Em cảm ơn <33

 

[7 1 2 5]

2. Đặt [tex]\frac{p+1}{2}=a^2,\frac{p^2+1}{2}=b^2(a,b\in \mathbb{N})\Rightarrow \left\{\begin{matrix} p+1=2a^2\\ p^2+1=2b^2 \end{matrix}\right.\Rightarrow 2b^2-2a^2=p^2-p\Rightarrow 2(b-a)(b+a)=p(p-1)\Rightarrow 2(b-a)(b+a)\vdots p\Rightarrow (b-a)(b+a)\vdots p[/tex]
Xét trường hợp:
+ [tex]a+b\vdots p[/tex] [tex]\Rightarrow a+b\geq p\Rightarrow p(p-1)=2(b-a)(b+a)\geq 2p(b-a)\Rightarrow 2(b-a)\leq p-1\Rightarrow p\geq 2b-2a+1[/tex]
[tex]\Rightarrow a+b\geq p\geq 2b-2a+1\Rightarrow 3a\geq b+1[/tex]
[tex]\Rightarrow 9(p+1)=2.(3a)^2\geq 2(b+1)^2=2b^2+4b+2\geq 2b^2+6=p^2+7\Rightarrow p^2-9p-2\leq 0\Rightarrow p\in \left \{ 3;5;7 \right \}[/tex]
Thử lại chỉ có p = 7 thỏa mãn.
+ [tex]b-a\vdots p\Rightarrow b-a\geq p\Rightarrow b+a> p-1\Rightarrow 2(b-a)(b+a)>p(p-1)[/tex](loại)
Vậy p = 7.