Số học

[nucuoilaban]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm số nguyên dương n để

[TEX]B= n^4 + n^3 + n^2 + n + 1[/TEX]

là số chính phương.

 

[lequang_clhd]

Do n nguyên dương \Rightarrow n \geq 1
\Rightarrow $n^4$ < $n^4$ + $n^3$ + $n^2$ +1< $n^4$ + $4n^3$ + $6n^2$ +4n+1= $(n+1)^4$
\Rightarrow không có số n nguyên dương nào thoả mãn đề bài

 

[hoang_duythanh]

n > 0 rồi mà nên không nhận n = 0 đâu
_________________________________

nhưng mình thắc mắc là làm sao nằm giữa $$ n^4 và (n+1)^4 $$ lại ko thể là số chính phương đây có phải là 2 số chính phương liên tiếp đâu

 

[vansang02121998]

$A=n^4+n^3+n^2+n+1$

- Với $n=1 \Rightarrow A=5$ ( loại )

- Với $n=2 \Rightarrow A=31$ ( loại )

- Với $n=3 \Rightarrow A=121$ ( thỏa mãn )

- Với $n > 3$

Dùng kẹp nhưng để nghĩ xem kẹp giữa gì với gì

 

[quangltm]

Ta có thể giải bài này ngay cả với $n < 0$
Có: $16\,{n}^{4}+16\,{n}^{3}+16\,{n}^{2}+16\,n+16= \left( 4\,{n}^{2}+2\,n+1
\right) ^{2}+ \left( 2\,n+3 \right) ^{2}+6{\rm \: \wedge \:} \left( 4
\,{n}^{2}+2\,n+1 \right) ^{2}+ \left( 2\,n+3 \right) ^{2}+6= \left( 4
\,{n}^{2}+2\,n+2 \right) ^{2}-4\,n \left( n-3 \right) -4$
#~: $n \in [-1;3]$, thử trực tiếp
#~: $n \not\in [-1;3] \implies (4n^2+2n+1)^2 < 16(n^4+n^3+n^2+n+1) < (4n^2+2n+2)^2$
-----------------------------------
Mình nhân 16 hơi to, chỉ cần x4 là đủ rồi chứng minh với $n >3$ thì
$(2n^2 + n)^2 \le 4(n^4 + n^3 + n^2 + n + 1) \le (2n^2 + n + 1)^2$