Toán Số học + Tổ hợp

[Quân Nguyễn 209]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[TEX]\boxed{1}[/TEX] Tìm các số nguyên tố có dạng [TEX]\frac{1}{11}.\overline{11...11}[/TEX] ( có [TEX]2n[/TEX] chữ số [TEX]1[/TEX] )
[TEX]\boxed{2}[/TEX] Tìm số tự nhiên n sao cho
[TEX]n+t(n)+t(t(n))=60[/TEX]
Trong đó [TEX]t(n)[/TEX] là tổng các chữ số của của số tự nhiên [TEX]a[/TEX] và [TEX]t(t(n))[/TEX] là tổng các chữ số của của giá trị [TEX]t(n)[/TEX]

Cho bảng kích thước

ô vuông. Người ta đánh dấu

ô bất kì của bảng. CMR ta có thể chọn

hàng và

cột của bảng sao cho tất cả ô được đánh dấu đều nằm trên

hàng và

cột này
@Nguyễn Xuân Hiếu @KwangDat @Ray Kevin

 

[Otaku8874]

[TEX]\boxed{1}[/TEX] Tìm các số nguyên tố có dạng [TEX]\frac{1}{11}.\overline{11...11}[/TEX] ( có [TEX]2n[/TEX] chữ số [TEX]1[/TEX] )
[TEX]\boxed{2}[/TEX] Tìm số tự nhiên n sao cho
[TEX]n+t(n)+t(t(n))=60[/TEX]
Trong đó [TEX]t(n)[/TEX] là tổng các chữ số của của số tự nhiên [TEX]a[/TEX] và [TEX]t(t(n))[/TEX] là tổng các chữ số của của giá trị [TEX]t(n)[/TEX]
[TEX]\boxed{3}[/TEX] Cho bảng kích thước [TEX]2n.2n[/TEX] ô vuông. Người ta đánh dấu [TEX]3n[/TEX] ô bất kì của bảng. CMR ta có thể chọn [TEX]n[/TEX] hàng và [TEX]n[/TEX] cột của bảng sao cho tất cả ô được đánh dấu đều nằm trên [TEX]n[/TEX] hàng và [TEX]n [/TEX] cột này
@Nguyễn Xuân Hiếu @Ray Kevin @KwangDat

Câu 2:Vì tổng là 60 nên n là số có 2CS -> đặt n là ab ( a khác 0; a,b<10 ; a,b là số tự nhiên )
TH1: a+b < 10 -> t(n) = t(t(n)) = a+b
-> ab + 2(a+b) =60
Giải có n = 50, 44 thỏa mãn
TH2: a+b > 10.
Vì a,b < 10 -> a+b nhỏ hơn hoặc bằng 18
-> t(n) - t(t(n)) = 9
-> ab + 2(a+b) =60 + 9 = 69
Giải có n = 47 thỏa mãn
Vậy n = 44, 47, 50

Câu 3:
Ta chọn n hàng có số ô được đánh dấu lớn nhất
-> còn n hàng chưa đc chọn
Giả sử Số ô dược đánh dấu trên n hàng chưa đc chọn > n -> có ít nhất 2 ô đc đánh dấu cùng 1 hàng -> trong n ô đc chọn, mỗi ô đều chứa ít nhất 2 ô dược đánh dấu -> tổng số ô đc đánh dấu lớn hơn hoặc bằng 2n+n+1 > 3n -> vô lí
-> số ô đc đánh dấu trên n hàng chưa đc chọn là ít hơn n
Ta chọn n cột sao cho n cột đó chứa các ô đc đánh dấu trên n hàng chưa đc chọn ( vì số ô đc đánh dấu trên n hàng chưa đc chọn là ít hơn n nên ta luôn chọn đc n cột thỏa mãn )
-> đpcm

P/s: Mình k hiểu đề bài bài 1

 

[Quân Nguyễn 209]

P/s: Mình k hiểu đề bài bài 1

Đề bài 1 là tìm tất cả các số nguyên tố có thể viết thành dạng [TEX]\frac{1}{11}.\overline{11...11}[/TEX] và cái số lượng các chữ số [TEX]1[/TEX] ở [TEX]\overline{11...11}[/TEX] phải là số chẵn đó chị ơi :v ([TEX]2n [/TEX]:v)

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Bài 1: Dễ thấy:
Biểu thức đó sẽ bằng: $P=10^0+10^2+10^4+...+10^{2k}$
Với $2k=n$.
Tới đây:
$10^2P=10^2+10^4+.....+10^{2k+2}$
$\Rightarrow 99P=10^{2k+2}-1=(10^{k+1})^2-1^2=(10^{k+1}-1)(10^{k+1}+1)$
Xét trường hợp $k=1 \Rightarrow P=101$ thỏa mãn.
Xét $k>1$
Nếu $k$ chẵn kết hợp với các hđt $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+......+b^{n-1})$ và $a^n+b^n=(a+b)(....)$ với n lẻ.
Thì hiển nhiên VP sẽ chia hết cho 99 và sẽ còn lại (....)(....) mà do $k>1$ thì hiển nhiên mỗi cái trong đó đều lớn hơn 1. Do đó P không thể là số nguyên tố.
Nếu $k$ lẻ thì $k=2k'+1$ hay $k+1$ chẵn lại thay vào trên phân tích tương tự thì $P$ cũng sẽ có ít nhất là 2 ước khác nhau đều lớn hơn 1.
Do đó chỉ tồn tại duy nhất số $1111$ thỏa mãn.
P/s: Còn quên trường hợp $11$ nữa mà khỏi cũng đc tại $\dfrac{11}{11}=1$ không là snt. ghi cái này lúc đầu cũng được). Hướng c/m là vậy :v Xem qua mà trình bày cẩn thẩn lại là ok :v
@Otaku8874 lâu lắm không thấy bà :v Học Sư Phạm chắc bá lắm hả ._.