Toán [Số học] Một số bài số học qua các kì thi HSG

[Nguyễn Xuân Hiếu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mình có một số bài tập số học khi ôn đội tuyển các bạn cùng tham khảo nhé ^^
Câu 1: Chứng minh rằng:
$222^{555}+555^{222}$ chia hết cho $7$
Câu 2: Tìm các số nguyên $x$ để:
$A=x^4+2x^3+2x^2+x+3$ là một số chính phương.
Câu 3: Chứng minh rằng:
$(4-\sqrt{15})^n+(4+\sqrt{15})^n$ chia hết cho $2$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$
Câu 4:
a)Tìm tất cả các số nguyên $x$ sao cho $\dfrac{x^3+3}{x+3}$ là số nguyên.
b)Tìm tất cả các số nguyên $x$ sao cho $\dfrac{x^3+3}{x^2+3}$ là số nguyên.
Câu 5: Cho $a,b \in \mathbb{Z}^+$. Chứng minh rằng nếu $UCLN(a,65)=UCLN(b,65)=1$ thì:
$a^{12}-b^{12} \vdots 65$
Câu 6: Tìm tất cả các số nguyên tố $p,q$ sao cho:
$(7^p-4^p)(7^q-4^q) \vdots pq$
Câu 7: Tìm tất cả các bộ 2 số nguyên dương $a,b$ sao cho khi chia $a^2+b^2$ cho $a+b$ ta được thương là $q$ và số dư $r$ thỏa mãn: $q^2=r+2007$
Câu 8: Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại một dãy các số nguyên dương $a_1,a_2,...a_n$ thỏa mãn: $a_{k+1}=\dfrac{a^2_k+1}{a_{k-1}+1}-1$ với mọi $2 \leq k \leq n-1$
Câu 9: Tìm số nhỏ nhất trong tập hợp các số chính phương có dạng $15m+16n$ và $16m-15n$ với mọi $m,n$ là các số nguyên dương nào đó.
Câu 10: Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ thỏa mãn: Nếu $a,b$ là hai số tự nhiên và $n$ là ước của $a^2b+1$ thì $n$ cũng là ước của $a^2+b$.
P/s:Tạm thời là thế đã mình sẽ cập nhật thêm sau nhé ._. Mọi người cùng làm và tham khảo nhé :v
@Tony Time @Dương Bii @Nữ Thần Mặt Trăng @kingsman(lht 2k2) ,.... Lâu lắm mới đụng vào gõ như thế này

 

[Bonechimte]

Mình có một số bài tập số học khi ôn đội tuyển các bạn cùng tham khảo nhé ^^
Câu 1: Chứng minh rằng:
$222^{555}+555^{222}$ chia hết cho $7$
Câu 2: Tìm các số nguyên $x$ để:
$A=x^4+2x^3+2x^2+x+3$ là một số chính phương.
Câu 3: Chứng minh rằng:
$(4-\sqrt{15})^n+(4+\sqrt{15})^n$ chia hết cho $2$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$
Câu 4:
a)Tìm tất cả các số nguyên $x$ sao cho $\dfrac{x^3+3}{x+3}$ là số nguyên.
b)Tìm tất cả các số nguyên $x$ sao cho $\dfrac{x^3+3}{x^2+3}$ là số nguyên.
Câu 5: Cho $a,b \in \mathbb{Z}^+$. Chứng minh rằng nếu $UCLN(a,65)=UCLN(b,65)=1$ thì:
$a^{12}-b^{12} \vdots 65$
Câu 6: Tìm tất cả các số nguyên tố $p,q$ sao cho:
$(7^p-4^p)(7^q-4^q) \vdots pq$
Câu 7: Tìm tất cả các bộ 2 số nguyên dương $a,b$ sao cho khi chia $a^2+b^2$ cho $a+b$ ta được thương là $q$ và số dư $r$ thỏa mãn: $q^2=r+2007$
Câu 8: Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại một dãy các số nguyên dương $a_1,a_2,...a_n$ thỏa mãn: $a_{k+1}=\dfrac{a^2_k+1}{a_{k-1}+1}-1$ với mọi $2 \leq k \leq n-1$
Câu 9: Tìm số nhỏ nhất trong tập hợp các số chính phương có dạng $15m+16n$ và $16m-15n$ với mọi $m,n$ là các số nguyên dương nào đó.
Câu 10: Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ thỏa mãn: Nếu $a,b$ là hai số tự nhiên và $n$ là ước của $a^2b+1$ thì $n$ cũng là ước của $a^2+b$.
P/s:Tạm thời là thế đã mình sẽ cập nhật thêm sau nhé ._. Mọi người cùng làm và tham khảo nhé :v
@Tony Time @Dương Bii @Nữ Thần Mặt Trăng @kingsman(lht 2k2) ,.... Lâu lắm mới đụng vào gõ như thế này

1,

 

[Ann Lee]

Mình có một số bài tập số học khi ôn đội tuyển các bạn cùng tham khảo nhé ^^
Câu 1: Chứng minh rằng:
$222^{555}+555^{222}$ chia hết cho $7$
Câu 2: Tìm các số nguyên $x$ để:
$A=x^4+2x^3+2x^2+x+3$ là một số chính phương.
Câu 3: Chứng minh rằng:
$(4-\sqrt{15})^n+(4+\sqrt{15})^n$ chia hết cho $2$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$
Câu 4:
a)Tìm tất cả các số nguyên $x$ sao cho $\dfrac{x^3+3}{x+3}$ là số nguyên.
b)Tìm tất cả các số nguyên $x$ sao cho $\dfrac{x^3+3}{x^2+3}$ là số nguyên.
Câu 5: Cho $a,b \in \mathbb{Z}^+$. Chứng minh rằng nếu $UCLN(a,65)=UCLN(b,65)=1$ thì:
$a^{12}-b^{12} \vdots 65$
Câu 6: Tìm tất cả các số nguyên tố $p,q$ sao cho:
$(7^p-4^p)(7^q-4^q) \vdots pq$
Câu 7: Tìm tất cả các bộ 2 số nguyên dương $a,b$ sao cho khi chia $a^2+b^2$ cho $a+b$ ta được thương là $q$ và số dư $r$ thỏa mãn: $q^2=r+2007$
Câu 8: Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại một dãy các số nguyên dương $a_1,a_2,...a_n$ thỏa mãn: $a_{k+1}=\dfrac{a^2_k+1}{a_{k-1}+1}-1$ với mọi $2 \leq k \leq n-1$
Câu 9: Tìm số nhỏ nhất trong tập hợp các số chính phương có dạng $15m+16n$ và $16m-15n$ với mọi $m,n$ là các số nguyên dương nào đó.
Câu 10: Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ thỏa mãn: Nếu $a,b$ là hai số tự nhiên và $n$ là ước của $a^2b+1$ thì $n$ cũng là ước của $a^2+b$.
P/s:Tạm thời là thế đã mình sẽ cập nhật thêm sau nhé ._. Mọi người cùng làm và tham khảo nhé :v
@Tony Time @Dương Bii @Nữ Thần Mặt Trăng @kingsman(lht 2k2) ,.... Lâu lắm mới đụng vào gõ như thế này

Tiếp bài 2~
Có: [tex]A> x^{4}+2x^{3}+x^{2}=(x^{2}+x)^{2}[/tex] [tex]\forall x\epsilon R[/tex]
[tex]A< x^{4}+2x^{3}+5x^{2}+4x+4=(x^{2}+x+2)^{2}[/tex] [tex]\forall x\epsilon R[/tex]
[tex]\Rightarrow (x^{2}+x)^{2}<A<(x^{2}+x+2)^{2}[/tex]
Vì A là số chính phương =>$A=(x^{2}+x+1)^{2}$
$\Leftrightarrow x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+x+3=x^{4}+3x^{2}+2x^{3}+2x+1$
$\Leftrightarrow x^{2}+x-2=0$
$\Leftrightarrow (x-1)(x+2)=0$
<=> x=1 hoặc x=-2
Vậy...
Bài 4:
a, ĐKXĐ: x khác -3
Đặt [tex]A=\frac{x^{3}+3}{x+3}=\frac{(x^{3}+27)-24}{x+3}=x^{2}-3x+9+\frac{24}{x+3}[/tex]
Để A là số nguyên [tex]\Leftrightarrow \frac{24}{x+3}\epsilon z[/tex]
Mà x nguyên => [tex](x+3)\epsilon Ư(24)[/tex]
=>....
b, ĐKXĐ: x khác [tex]\pm \sqrt{3}[/tex]
Đặt B=[tex]\frac{x^{3}+3}{x^{2}+3}=x+\frac{3-3x}{x^{2}+3}[/tex]
Do [tex]x\epsilon Z[/tex] nên để [tex]B\epsilon Z\Rightarrow (3-3x)\vdots (x^{2}+3)\Rightarrow (9-9x^{2})\vdots (x^{2}+3)[/tex]
Có: [tex](9-9x^{2})=[36-9(x^{2}+3)]\vdots (x^{2}+3)[/tex]
[tex]\Rightarrow 36\vdots (x^{2}+3)\Rightarrow (x^{2}+3)\epsilon Ư(36)[/tex]
Lập bảng, thử lại kết quả, kết luận~