Số học khó

[cuong131hv]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Cho f(x)=[TEX]ax^2+bx+c[/TEX] có tính chất f(1), f(4), f(9) là các số hữu tỷ. Chứng minh rằn khi đó a, b, c là các số hữu tỷ
2) Cho x>0, y>0 thỏa mãn [TEX]x+y\geq6[/TEX]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=[TEX]3x+2y+\frac{6}{x}+\frac{8}{y}[/TEX]
3) Một lớp học có không ít hơn 10 học sinh và 11 môn học. Cho số học sinh được xếp loại giỏi mỗi môn học đều vượt quá 50 phần trăm tông học sinh của lớp. Chứng minh rằng có ít nhất 3 học sinh được xếp loại giỏi từ 2 môn trở lên.

 

[lp_qt]

Câu 2

$P=3x+2y+\dfrac{6}{x}+\dfrac{8}{y}=\left ( \dfrac{6}{x}+\dfrac{3x}{2} \right )+\left ( \dfrac{8}{y}+\dfrac{y}{2} \right )+\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{2}$

$\ge 2.\sqrt{\dfrac{6}{x}.\dfrac{3x}{2}}+2.\sqrt{\dfrac{8}{y}.\dfrac{y}{2}}+\dfrac{1}{2}.6=.....$

Khi $x=2;y=4$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1.
$f(1)=a+b+c\in\mathbb{Q}$
$f(4)=16a+4b+c\in\mathbb{Q}$
$f(9)=81a+9b+c\in\mathbb{Q}$
Ta có $f(9)-f(4)\in \mathbb{Q}$ nên $65a+5b\in\mathbb{Q}$ hay $13a+b\in\mathbb{Q}$
Ta có $f(4)-f(1)\in\mathbb{Q}$ nên $15a+3b\in\mathbb{Q}$ hay $5a+b\in\mathbb{Q}$
Do đó $8a\in\mathbb{Q}$ nên $a\in\mathbb{Q}$
Suy ra $b\in\mathbb{Q}$ và $c\in\mathbb{Q}$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 3.
Gọi tập hợp học sinh giỏi của mỗi môn học là $A_1, A_2,...,A_{11}$
Vì số học sinh giỏi mỗi môn nhiều hơn nửa lớp nên đôi một các tập hợp trên có phần tử chung.
Nếu $A_i$ và $A_j$ có đúng một phần tử chung thì số phần tử còn lại là $|A_i|+|A_j|-2\ge m-1$ phần tử. Mà trong số trên không chứa phần tử chung nên $|A_i|+|A_j|-2=m-1$. Gọi tập hợp này là $B$
Xét một tập hợp $A_k$ bất kỳ thì số phần tử chung của $A_k$ và $B$ là $|A_k\cap B|\ge\dfrac{m}{2}-1\ge 4$
Trong trường hợp này thì kết luận bài toán đúng.
Nếu $A_i$ và $A_j$ có đúng hai phần tử chung thì số phần tử còn lại là $|A_i|+|A_j|-4\ge m-3$ phần tử. Mà trong số trên không chứa hai phần tử chung nên $|A_i|+|A_j|-4\le m-2$. Gọi tập hợp này là $B$
Xét tập hợp $A_k$ bất kỳ. Khi đó số phần tử chung của $A_k$ với $B$ là $|A_k\cap B|\ge \dfrac{m}{2}-2\ge 3$
Trong trường hợp này thì kết luận bài toán đúng.
Nếu $A_i$ và $A_j$ có trên hai phần tử chung thì hiển nhiên kết luận bài toán đúng.