Số học khó

[shayneward_1997]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho số tự nhiên có 3 chữ số.
Ta làm như sau: Lấy số đó trừ đi tổng các chữ số của nó được số mới.
Tiếp tục làm như vậy với số mới.
Chứng minh rằng sau 100 bước ta có dc hiệu bằng 0

 

[hieu8x0o0]

đáp án

gọi số có 3 chữ số là abc.
Ta có abc=100a+10b+c.
b1: 100a+10b+c - (a+b+c) =99a+9b
b2: 99a+9b - (a+b) =100a+10b+c-(2a+2b+c)=98a+8b
b3: 98a+8b - (a+b) =100a+10b+c-(3a+3b+c)=87a+7b
..............
b10: 100a+10b+c-(10a+10b+c)=90a
b11: 90a-a=100a+10b+c-(11a+10b+c)=89a
b12: 89a-a=100a+10b+c-(12a+10b+c)=88a
...........
b100: 100a+10b+c-(100a+10b+c)=0.
đpcm.

 

[son9701]

gọi số có 3 chữ số là abc.
Ta có abc=100a+10b+c.
b1: 100a+10b+c - (a+b+c) =99a+9b
b2: 99a+9b - (a+b) =100a+10b+c-(2a+2b+c)=98a+8b
b3: 98a+8b - (a+b) =100a+10b+c-(3a+3b+c)=87a+7b
..............
b10: 100a+10b+c-(10a+10b+c)=90a
b11: 90a-a=100a+10b+c-(11a+10b+c)=89a
b12: 89a-a=100a+10b+c-(12a+10b+c)=88a
...........
b100: 100a+10b+c-(100a+10b+c)=0.
đpcm.

Rõ ràng đây là cách giải sai mà bò!!
GT hỏi rõ ràng là lấy số trừ đi tổng các chữ số của nó thì bằng chứng đâu lại lấy 99a+9b-(a+b) trong khi không biết a+b có là tổng các chữ số của $\bar{abc}$ hay không

Solution:

Ta cminh bài toán này bằng 2 bước

Bước 1: Cminh tồn tại hữu hạn k phép trừ để đưa 1 số $\bar{abc}$ bất kì được đưa về 0.(*)
CM: Dễ thấy $\bar{ab0}-(a+b+0)= \bar{ab1}-(a+b+1)=....=\bar{ab9}-(a+b+9)$
nên ta chỉ cần chứng minh tồn tại k phép trừ để số $\bar{ab0}$ bất kì được đưa về 0
Thật vậy: Thử số 100 thấy thoả mãn
Giả sử mệnh đề đúng với các số từ 100 đến $\bar{ab0}$ --> mệnh đề đúng từ 100 đến $\bar{ab9}$Ta sẽ cmr mệnh đề cũng đúng vs [tex]\bar{a(b+1)0}[/tex].Thực vậy,ta có: [tex]\bar{a(b+1)0}-(a+b+1) < \bar{a(b+1)0}-1=\bar{ab9}[/tex](1)
Mà các số nhỏ hơn $\bar{ab9}$ đều có thể đưa về 0 sau hữu hạn bước theo giả thiết qui nạp.Vậy ta có mệnh đề (*) đúng.

Bước 2: Cminh $k$ \leq $100$.
Từ (1) dễ thấy sau mỗi phép trừ thì b bị giảm đi 1 đơn vị hay số [tex]A=[\frac{\bar{abc}}{10}][/tex] ([x] là phần nguyên của x) sau 1 phép trừ sẽ bị giảm đi 1
--> sau 100 phép trừ thì số A bị giảm đi 100 đơn vị
Nhưng [tex]A \leq [\frac{999}{10}] = 99[/tex]nên sau 99 bước đi thì A = 0 và hiển nhiên sau 100 bước đi thì A =0.Nên chỉ cần tối đa 100 bước đi để số [tex]\bar{abc}[/tex] được đưa về 0

Vậy ta có đpcm

 

[vy000]

Giả sử mệnh đề đúng với các số từ 100 đến $\bar{ab0}$ --> mệnh đề đúng từ 100 đến $\bar{ab9}$Ta sẽ cmr mệnh đề cũng đúng vs [tex]\bar{a(b+1)0}[/tex].Thực vậy,ta có: [tex]\bar{a(b+1)0}-(a+b+1) < \bar{a(b+1)0}-1=\bar{ab9}[/tex](1)
Mà các số nhỏ hơn $\bar{ab9}$ đều có thể đưa về 0 sau hữu hạn bước theo giả thiết qui nạp.Vậy ta có mệnh đề (*) đúng.

chỗ này hơi sai 1 chút,nếu [TEX]\bar{ab9}[/TEX] có b=9 thì ko làm như thế này được

mình làm thế này:
có [tex] \bar{abc}[/tex] -a-b-c luôn chia hết cho 9
do đó,sau bước đầu tiên,các bước sau,số mới nhỏ hơn số cũ ít nhất là 9
do đo các số ko quá 9.99+1=892 đều tm đề bài
do đó các số từ 100 đến 899 thỏa mãn đề bài
xét số 900,sau lần t1,ta được số 891.mà 9.99=891 nên cần nhiều nhất 99 lần trừ để có hiệu=0
do đó số 900 thỏa mãn
xét số [tex]\bar{9b0}[/tex] với b khác 9 thỏa mãn thì [tex]\bar{9(b+1)0}[/tex] luôn thỏa mãn