Số học khó 2

[cuong131hv]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Cho 2 số tự nhiên m, n thỏa mãn m+n+1 là một ước số nguyên tố của [TEX]2(m^2+n^2)-1[/TEX]. Chứng minh rằn m=n
2) Cho a+b+c=1. Chứng minh rằng [TEX]a^4+b^4+c^4\geq abc[/TEX]
3) Cho M=[TEX]x^2+y^2+2z^2+t^2[/TEX] (x, y, z, t là số nguyên không âm). Tìm gtnn của M biết [tex]\left\{ \begin{array}{l} x^2-y^2+t^2=21 \\ x^2+3y^2+4z^2=101 \end{array} \right.[/tex]. Dấu bằng xảy ra khi nào?

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1.
Xét $m+n+1=2$ thì $m=1, n=0$ nên $2(m^2+n^2)_1=2(m+n)-1$ => sai
Xét $m+n+1>2$ Từ điều kiện suy ra $(m-n)^2$ chia hết cho $m+n+1$ nên $|m-n|$ chia hết cho $m+n+1$
Nếu $|m-n|>0$ thì ta có $m+n+1>|m-n|$ vô lý.
Do đó $m=n$

 

[soccan]

$3)$
cộng $2$ pt lại ta được
$2x^2+2y^2+t^2+4z^2=122\\
\longrightarrow 2M=122+t^2 \ge 122 \longrightarrow M \ge 61$
dấu bằng xảy ra khi $t=0$, ta được $1$ hệ với ẩn $x,y,z$ nguyên không âm
$\left\{\begin{matrix}x^2-y^2=21\\ x^2+3y^2+4z^2=101\end{matrix}\right.$
giải hệ trên tìm được $x,y,z$

 

[phamhuy20011801]

Câu 2:
Áp dụng 2 lần bất đẳng thức $a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca$
$a^4+b^4+c^4 \ge (ab)^2+(bc)^2+(ca)^2$ (1)
$(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2 \ge ab^2c+abc^2+a^2bc = abc(a+b+c) = abc$ (2)
Từ (1) và (2) có đpcm.