Toán 10 Số học - Hệ thặng dư đầy đủ

oanh6807

Học sinh chăm học
Thành viên
18 Tháng mười một 2021
206
190
61
17
Quảng Nam

Attachments

  • 20220924_160638.jpg
    20220924_160638.jpg
    22 KB · Đọc: 9
  • 20220924_160333.jpg
    20220924_160333.jpg
    48.7 KB · Đọc: 9
  • 20220924_160433.jpg
    20220924_160433.jpg
    45 KB · Đọc: 7
  • 20220924_160500.jpg
    20220924_160500.jpg
    46.6 KB · Đọc: 7
  • 20220924_160535.jpg
    20220924_160535.jpg
    65.7 KB · Đọc: 6
  • 20220924_160557.jpg
    20220924_160557.jpg
    17.8 KB · Đọc: 10
  • Like
Reactions: 7 1 2 5

7 1 2 5

Cựu TMod Toán
Thành viên
19 Tháng một 2019
6,871
11,478
1,141
Hà Tĩnh
THPT Chuyên Hà Tĩnh
Bài này em có [imath]2[/imath] chỗ sai nhé:
+ Thứ nhất: Tính sai đoạn [imath]1(n-1)+2(n-2)+...+(n-2)2+(n-1)1[/imath]
+ Thứ hai: Điều kiện em tìm ra ở cuối mới chỉ là điều kiện đủ, chứ để nó là điều kiện cần và đủ thì em phải chứng minh với [imath]n[/imath] thỏa mãn vậy thì hệ thặng dư ban đầu là hệ thặng dư đầy đủ.

Lời giải bài toán:
Với [imath]n\leq 4[/imath] thì bằng cách thử trực tiếp ta thấy [imath]n=1,n=2,n=4[/imath] thỏa mãn.
Xét [imath]n \geq 5[/imath].
Đặt [imath]a_i=0+1+...+i=\dfrac{i(i+1)}{2}[/imath] với [imath]i=0,1,...,n-1[/imath].
Ta thấy [imath]a_i \equiv a_j (\mod n) \Leftrightarrow 2n \mid (i-j)(i+j+1)[/imath]
Xét các trường hợp:
+ [imath]n[/imath] lẻ.
Khi đó ta thấy [imath]a_0 \equiv a_{n-1}[/imath] do [imath]2n \mid (n-1)(n-1+0+1)=n(n-1)[/imath]
Mặt khác do [imath]n \geq 6[/imath] nên [imath]n-1>0[/imath] hay hệ ban đầu không là hệ thặng dư đầy đủ.
+ [imath]n[/imath] chẵn.
Đặt [imath]2n=2^t \cdot q (t,q \in \mathbb{N}^*; 2 \nmid q)[/imath]
Xét hệ đồng dư sau: [imath]\begin{cases} k \equiv i(\mod 2^t) \\ k+i+1 \equiv 0(\mod q) \end{cases}[/imath] với [imath]0 \leq i <\dfrac{q-1}{2}[/imath]
Theo định lý thặng dư Trung Hoa, hệ trên có nghiệm, tức tồn tại [imath]0 \leq k \leq n-1[/imath] thỏa mãn hệ trên.
Mặt khác, [imath]k \not \equiv i(\mod n)[/imath]. Thật vậy, giả sử [imath]k \equiv i(\mod n)[/imath] thì [imath]k \equiv i(\mod q)[/imath]
[imath]\Rightarrow 0 \equiv k+i+1 \equiv 2i+1 (\mod q)[/imath] (mâu thuẫn với [imath]0<2i+1<q[/imath])
Từ đó ta thấy tồn tại [imath]0 \leq k \neq i \leq n-1[/imath] thỏa mãn [imath]2n \mid (k-i)(k+i+1)[/imath]
Suy ra [imath]a_k \equiv a_i (\mod n)[/imath] hay hệ ban đầu không là hệ thặng dư đầy đủ.
Vậy chỉ có [imath]n \in \lbrace 1,2,4 \rbrace[/imath] thỏa mãn đề bài.

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé

Bài giảng Trường hè học sinh - giáo viên trường THPT chuyên 2022

 
Top Bottom