[Số học]Chứng minh rằng mọi số lẻ không chia hết cho 5 đều là ước của một số được viết bằng toàn chữ

T

thinhrost1

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Cho 1996 số lẻ đầu tiên 1;3;5;..3991 Tìm số tự nhiên k bé nhất sao cho khi chọn k số tùy ý trong 1996 số đã cho thì bao giờ cũng chọn được hai số trong k số đã chọn mà một trong hia số đó là bội của số kia

2) Chứng minh rằng mọi số lẻ không chia hết cho 5 đều là ước của một số được viết bằng toàn chữ số 1 trong hệ thập phân

3)Người ta viết dãy số 1;2;3;..1 000 000, sau đó mỗi số được thay bằng tổng các chữ số của nó. Cứ làm như vậy nhiều lần cho đến khi trong dãy chỉ có các số có một chữ số. Hỏi lúc này dãy, chữ số nào xuất hiện nhiều lần nhất?

4)Chứng minh rằng số nguyên dương lẻ n là lũy thừa của số nguyên tố lẻ khi và chỉ khi n-1 là số nhỏ nhất trong các số k thỏa mãn k(k+1) chia hết cho 2n

5)Tìm 1000 chữ số tận cùng của tổng: $S=1+50+50^2+..+50^{999}$

6) Cho m và n là những số tự nhiên với $n>m\ge 1 $ trong cách viết thập phân ba chữ số tận cùng của $1978^m$ theo thứ tự bằng ba chữ số cuối cùng của $1978^n$. Tìm các số m và n sao cho tổng $m+n$ có giá trị nhỏ nhất

7) Chứng minh rằng dãy số: $B_n=\dfrac{1}{6}n(n+1)(n+2) (n \in N^*)$ chứa dãy vô hạn những số nguyên tố cùng nhau.

8) Chứng minh dãy số Fec-ma $F_n=2^{2^n}+1$ là dãy số nguyên tố cùng nhau với n là số tự nhiên

Phiền các bác xài kiến thức thcs ạ không xài casio :D
 
Last edited by a moderator:
H

huynhbachkhoa23

Bài 6. Theo nguyên lý Dirichlet, luôn tồn tại $m,n$ thỏa mãn $1978^m\equiv 1978^n\pmod{1000}$ và $n>m$
Khi đó $1978^{m}\left(1978^{n-m}-1\right)\equiv 0\pmod{1000}$
Do đó $1978^{m}\equiv 0\pmod{8}$ nên $m\ge 3$ và $1978^{n-m}-1\equiv 0\pmod{125}$
Giả sử $r=\text{ord}_{125}(1978)$ thì ta có $r\mid \phi(125)=100$
Thử từng trường hợp ta thấy rằng $r=100$
Chọn $m-n=100$ thì $m+n$ nhỏ nhất bằng $103$
 
H

huynhbachkhoa23

Bài 8. Đặt $F_n=2^{2^{n}}+1$
Giả sử tồn tại $m,n$ sao cho tồn tại số nguyên tố $p$ mà $p\mid F_m, p\mid F_n$
Không mấy tính tổng quát, giả sử $n>m$
Ta sẽ chứng minh quy nạp: $F_{n}=F_0F_1...F_{n-1}+2$
Với $n=1$ thì $F_1=5, F_0=3$ nên $F_1=F_0+2$
Giả sử khẳng định đúng đến $n=k$, với $n=k+1$ ta có:
$F_{n}-2=F_0F_1...F_{n-1}$ nên $F_n(F_{n}-2)=F_0F_1...F_n$
Mà $F_n(F_n-2)=\left(2^{2^{n}}+1\right)\left(2^{2^{n}}-1\right)=2^{2^{n+1}}-1=F_{n+1}-2$
Do đó $F_{n}=F_0F_1...F_{n-1}+2$ với mọi $n$ thuộc $\mathbb{N}^{*}$
Do $n>m$ nên $p\mid F_0F_1...F_{n-1}$ và $p\mid F_n$ nên $2\mid p$
Suy ra $F_n, F_m$ đều chẵn vô lý vì $F_n$ lẻ.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
 
H

huynhbachkhoa23

Bài 3. Giả sử $S(n)$ là tổng các chữ số của $n$ thì $S(n)\equiv n\pmod{9}$ nên ta chỉ cần tìm số $k$ sao cho trong dãy $1,2,3,...$ chứa nhiều số nằm trong $\bar{k}$ modulo 9, $k\in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8\}$ chính là số cần tìm.
 
Last edited by a moderator:
You must log in or register to reply here.
Top Bottom