[Số học 8] Chứng minh.

[cuccuong]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

đề: cho ba số dương a,b,c có tổng bằng 1 . Chứng minh rằng :
[TEX]6(ab+bc+ca)+a(b-c)^{2}+b(c-a)^{2}+c(a-b)^{2} \leq 2[/TEX]
giải:
Ta có:
[TEX]a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq ab+bc+ca \Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca) \geq 3(ab+bc+ca) \Rightarrow2(a+b+c)^{2} \geq 6(ab+ac+bc) \Rightarrow 2 \geq 6(ab+ac+bc)[/TEX]
\Rightarrow A \leq 2+ [TEX]a(b-c)^{2}+b(c-a)^{2}+c(a-b)^{2}[/TEX]
Đến đây coi như bài toán đã xong !
nhưng nếu tiếp tục ta lại có:
[TEX]a(b-c)^{2}+b(c-a)^{2}+c(a-b)^{2}[/TEX] = ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c)-6abc
= ab(1-c)+ac(1-b)+bc(1-a)-6abc
= ab+ac+bc-9abc
mà [TEX]ab+bc+ca \leq \frac{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)}{3} = \frac{1}{3}[/TEX]
lại có: [TEX]a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc} \Rightarrow (a+b+c)^{3} \geq 27abc \Rightarrow abc \leq \frac{1}{27} \Rightarrow -9abc \geq \frac{1}{3}[/TEX]
\Rightarrow ab+ac+bc-9abc <0
\Rightarrow A \leq 2+0 = 2


Vậy thì bài toán nên dừng ở đâu hay cách là trên đã sai hay vì một lí do #?
mọi người đọc và cho mình ý kiến nha!

 

[phuonglinh_13]

Chẳng hiểu!

Vụ này hôm tr' nói rồi

Cứ làm cách này cho chắc chắn

0<a,b,c<1 => [TEX]a(b-c)^2 \leq (b-c)^2[/TEX]
CM tươg tự rồi cộg các vế lại ta có
A \leq 6(ab+cb+ca)+[TEX](b-c)^2+(c-a)^2+(a-b)^2[/TEX]
=[TEX]2(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac)[/TEX]=[TEX]2(a+b+c)^2[/TEX]=2
=> dpcm

 

[cuccuong]

cuối cùng rồi cũng có cách

đề: cho ba số dương a,b,c có tổng bằng 1 . Chứng minh rằng :
[TEX]6(ab+bc+ca)+a(b-c)^{2}+b(c-a)^{2}+c(a-b)^{2} \leq 2[/TEX]
giải:
Ta có:
[TEX]a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq ab+bc+ca \Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca) \geq 3(ab+bc+ca) \Rightarrow2(a+b+c)^{2} \geq 6(ab+ac+bc) \Rightarrow 2 \geq 6(ab+ac+bc)[/TEX]
\Rightarrow A \leq 2+ [TEX]a(b-c)^{2}+b(c-a)^{2}+c(a-b)^{2}[/TEX]
Đến đây coi như bài toán đã xong !
nhưng nếu tiếp tục ta lại có:
[TEX]a(b-c)^{2}+b(c-a)^{2}+c(a-b)^{2}[/TEX] = ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c)-6abc
= ab(1-c)+ac(1-b)+bc(1-a)-6abc
= ab+ac+bc-9abc
mà [TEX]ab+bc+ca \leq \frac{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)}{3} = \frac{1}{3}[/TEX]
lại có: [TEX]a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc} \Rightarrow (a+b+c)^{3} \geq 27abc \Rightarrow abc \leq \frac{1}{27} \Rightarrow -9abc \geq \frac{1}{3}[/TEX]
\Rightarrow ab+ac+bc-9abc <0
\Rightarrow A \leq 2+0 = 2


Vậy thì bài toán nên dừng ở đâu hay cách là trên đã sai hay vì một lí do #?
mọi người đọc và cho mình ý kiến nha!

vì a+b+c=1 và a,b,c dương \Rightarrow a<1
\Rightarrow [TEX]a(b-c)^{2} \leq (b-c)^{2}[/TEX]
chứng minh hoàn toàn tương tự ta có:
[TEX]b(c-a)^{2} \leq (c-a)^{2} ; c(a-b)^{2} \leq (a-b)^{2}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]a(b-c)^{2} + b(c-a)^{2} + c(a-b)^{2} \leq (b-c)^{2}+(c-a)^{2}+(a-b)^{2} [/TEX]
\Rightarrow [TEX]A= 6(ab+bc+ca) + a(b-c)^{2} + b(c-a)^{2} + c(a-b)^{2} \leq 6(ab+bc+ca)+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+(a-b)^{2}[/TEX]
\Rightarrow[TEX]A \leq 6(ab+bc+ca)+ 2(b^{2}+a^{2}+c^{2})-2ab-2bc-2ac[/TEX]
\Rightarrow[TEX]A \leq 2(2(b^{2}+a^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc)[/TEX]
\Rightarrow[TEX]A \leq 2(a+b+c)^{2} =2[/TEX] (ĐPCM)