Bổ đề: Cho [imath]x,y[/imath] nguyên dương thoả mãn [imath]x^2 = y^3[/imath]. Khi đó tồn tại [imath]b\in\mathbb N^*[/imath] mà [imath]x = b^3; y = b^2[/imath].
Chứng minh: Do [imath]x^2=y^3\vdots y^2[/imath] nên [imath]y^2\mid x^2\Rightarrow y\mid x[/imath]
[imath]\Rightarrow y = \left(\dfrac{x}{y}\right)^2[/imath] là số chính phương.
Đặt [imath]y=b^2,b\in\mathbb N^*[/imath] thì [imath]x = b^3[/imath]. Bổ đề được chứng minh.
Gọi số có hai chữ số cần tìm là [imath]\overline{ab}[/imath], với [imath]a,b\in\mathbb N; a,b\leq 9; a \neq 0[/imath].
Ta có: [imath]\overline{ab}^2 = (a+b)^3[/imath].
Theo bổ đề ta suy ra [imath]\overline{ab}[/imath] là lập phương của một số nguyên
[imath]\Rightarrow \overline{ab} \in \{27; 64\}[/imath].
Thử lại ta thấy chỉ có [imath]\overline{ab} = 27[/imath] là thoả mãn yêu cầu bài toán.
Vậy số cần tìm là [imath]27[/imath].
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
