Đặt [tex]2^m.5^n+25=t^2 (t\in \mathbb{N}) \Rightarrow 2^m.5^n=(t-5)(t+5)[/tex]
Giả sử [TEX]t-5=2^x.5^y,t+5=2^z.5^t(x,y,z,t > 0) \Rightarrow 2^z.5^t-2^x.5^y=10 \Rightarrow 2^{z-1}.5^{t-1}-2^{x-1}.5^{y-1}=1[/TEX]
Đến đây ta thấy nếu [TEX]x,z \geq 2[/TEX] thì [TEX]VT \vdots 2 \Rightarrow [/TEX] Mâu thuẫn.
Tương tự thì [TEX]y,t[/TEX] không cùng lớn hơn 1.
Mà [TEX]2^{z-1}.5^{t-1} > 1 \Rightarrow z,t[/TEX] không cùng bằng 1.
Ta xét các trường hợp:
1. [TEX]x=y=1 \Rightarrow 2^{z-1}.5^{t-1}=2 \Rightarrow z=2,t=1 \Rightarrow m=x+z=3,n=y+t=2[/TEX]
2. [TEX]x=z=1 \Rightarrow 5^{t-1}-5^{y-1}=1[/TEX]. Trường hợp này không tồn tại.
3. [TEX]y=z=1 \Rightarrow 5^{t-1}-2^{x-1}=1[/TEX]
Xét đồng dư với [TEX]5[/TEX] thì [TEX]x-1 \vdots 2[/TEX]. Mà [TEX]x>1 \Rightarrow x-1 \geq 2[/TEX]
Xét đồng dư với [TEX]4[/TEX] thì [TEX]t-1 \not \vdots 2[/TEX]. Từ đó [TEX]5^{t-1} \not \equiv 1(\mod 8)[/TEX] cho nên [TEX]x-1 \leq 2 \Rightarrow x=3 \Rightarrow t=2 \Rightarrow m=x+z=4,n=y+t=3[/TEX]
4. [TEX]y=t=1 \Rightarrow 2^{z-1}-2^{x-1}=1 \Rightarrow x-1=0 \Rightarrow x=1[/TEX](đưa về 1)
5. [TEX]x=t=1 \Rightarrow 2^{z-1}-5^{y-1}=1[/TEX]
Xét đồng dư với [TEX]5[/TEX] ta thấy [TEX]z-1 \vdots 4 \Rightarrow z-1 \geq 4[/TEX]
Xét đồng dư với [TEX]8[/TEX] thì [TEX]5^{y-1} \not \vdots -1(\mod 8)[/TEX] nên không tồn tại.
Vậy có 2 cặp [TEX](m,n)[/TEX] thỏa mãn là [TEX](3,2),(4,3)[/TEX]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
