Toán 9 Số chính phương

[Lena1315]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho (x, y, p) là 3 số nguyên dương và p là số nguyên tố thỏa mãn:
[tex]4x^2 - 3y^2 + (2x+y)p + 4xy =0[/tex]
Chứng minh rằng 8y+1 là số chính phương

 

[7 1 2 5]

Ta có:[tex]4x^2 - 3y^2 + (2x+y)p + 4xy =0\Leftrightarrow 4x^2+2x(2y+p)-3y^2+yp=0[/tex]
[tex]\Delta_x '=(2y+p)^2-4(-3y^2+yp)=16y^2+p^2[/tex]
Để tồn tại x nguyên dương thì [tex]\Delta '[/tex] là số chính phương.
Đặt [tex]\Delta '=k^2(k\in \mathbb{N})\Rightarrow 16y^2+p^2=k^2\Rightarrow p^2=k^2-16y^2=(k-4y)(k+4y)[/tex]
Vì [tex]k+4y>k-4y;k+4y>0[/tex] và [tex]p^2[/tex] có 3 ước [tex]\Rightarrow \left\{\begin{matrix} k+4y=p^2\\ k-4y=1 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 4y=p^2-k\\ 4y=k-1 \end{matrix}\right.\Rightarrow p^2-k=k-1\Rightarrow 2k=p^2+1\Rightarrow k=\frac{p^2+1}{2}\Rightarrow 4y=k-1=\frac{p^2+1}{2}-1=\frac{p^2-1}{2}\Rightarrow 8y=p^2-1\Rightarrow 8y+1=p^2(đpcm)[/tex]