1. Tìm tất cả các số nguyen dương n để :
[tex](n^2 + 11n - 4).n! + 33.13^n + 4[/tex] là số chính phương
Mình nhầm được là n = 1, 2 rồi mà không biết phải làm sao nữa
Đang không biết phải loại mấy TH khác kiểu gì ...
@Mộc Nhãn @mbappe2k5 @Lê.T.Hà
C1 Giả sử tồn tại n thỏa mãn đề bài. Khi đó tồn tại số tự nhiên A sao cho [tex](n^2 + 11n - 4).n! + 33.13^n + 4 =A^2[/tex]
Xét[tex]n\geq 4\rightarrow n ! \equiv 0 (mod 8)[/tex]
Nếu [tex]n\equiv 0(mod2)=>13^n\equiv 1(mod8)=>33.13^n+4\equiv 8(mod 5)=>A^2\equiv 5(mod8)[/tex]=> Vô lý (do 1 số chính phương chỉ đồng dư 0,1,4 modun 8)
Vậy [tex]n\geq 4[/tex] thì n lẻ
Ta có [tex]n^2+11n-4\equiv n^2-3n-4\equiv(n-4)(n+1)(mod7)\Rightarrow (n^2+11n-4)n!\equiv(n+3)(n+1)!(mod7)[/tex]
Do [tex]n\geq 4[/tex] nên với n khác 5 thì [tex](n+3)(n+1)!\equiv0(mod7)=>A^2\equiv33.13n+4\equiv(-2)(-1)+4=6(mod7)[/tex](do n lẻ )
=> vô lí do 1 số chính phương chỉ đồng dư 0,1,2,4 modun 7
Vậy ta chỉ cần xét n [tex]\epsilon[/tex] 1,2,3,5 để tìm n thỏa mãn đề bài
=> n = 1 ,2 (sau khi thử)
C2
Nếu n [tex]\geq 6[/tex] thì [tex]7\left | (n^2+11n-4)n! \right.[/tex]. Khi đó suy ra [tex]33 \cdot 13^n+4 \equiv 0,1,2,4 \pmod{7}[/tex] => [tex](-2) \cdot (-1)^n \equiv 3,4,5,0 \pmod{7}[/tex].Từ đây dẫn đến 2|n
Vì [tex]n\geq 6[/tex] nên [tex]8 \left | (n^2+11n-4)n! \right.[/tex]
Do đó [tex]33 \cdot 13^n+4 \equiv 1 \pmod{8}[/tex]=> [tex]5^n \equiv 5 \pmod{8} hay 5^{n-1} \equiv 1 \pmod{8}[/tex]
Vì [tex]2 \nmid n-1[/tex] nên [tex]2^2 \| 5^{n-1}-1[/tex] mâu thuẫn . Vậy [tex]n\leq 5[/tex]
Thử và tìm được [tex]n\epsilon \begin{Bmatrix}1,2 \end{Bmatrix}[/tex]
C3
+) Xét n từ 1 đến 6
+) Xét n[tex]\geq 7[/tex]
[tex](n^{2}+11n-4).n!\vdots 7[/tex]
Với n lẻ [tex]13^{n}\equiv 6(mod7)=>33.13^{n}\equiv 2(mod7)=>(n^{2}+11n-4).n!+33.13^{n}+4\equiv 6(mod7)[/tex] không là SCP do SCP chia 7 dư 0,1,4,2
[tex]=>n=2k(k\epsilon \mathbb{Z}^{+})[/tex]
[tex]33.13^{n}=33.169^{k}\equiv 1(mod8)=>33.13^{n}+4\equiv 5(mod8)[/tex]
Do [tex](n^{2}+11n-4)n!\vdots 8=>(n^{2}+11n-4)n!+33.13^{n}+4\equiv 5(mod8)[/tex] không là SCP do SCP chia 8 dư 0,1,4
=> Xét TH => n là 1, 2
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
