Tìm số có 2 chữ số sao cho tích của số đó với tổng các chữ số của nó bằng tổng lập phương các chữ số của số đó
Gọi số cần tìm là [tex]\overline{ab}[/tex] ([TEX]0<a\leq 9;0\leq a\leq 9;a,b\in \mathbb{N}[/TEX])
Theo đề bài ta có:
[tex]\overline{ab}(a+b)=a^3+b^3\\\Leftrightarrow (10a+b)(a+b)=(a+b)(a^2-ab+b^2)\\\Leftrightarrow (a+b)(10a+b-a^2+ab+b^2)=0\\\Leftrightarrow 10a+b-a^2+ab-b^2=0(vì:a>0;b\geq 0\Rightarrow a+b>0)\\\Leftrightarrow 3a(3+b)-(a+b)^2+(a+b)=0\\\Leftrightarrow 3a(3+b)=(a+b)(a+b-1)[/tex]
Gọi [tex]ƯCLN(a+b;a+b-1)=d[/tex]
[tex]\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b\vdots d\\ a+b-1\vdots d \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b\vdots d\\(a+b)-(a+b-1) \vdots d \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b\vdots d\\ 1\vdots d \end{matrix}\right.\Rightarrow ƯCLN(a+b;a+b-1)=1[/tex]
Suy ra [TEX]a+b[/TEX] và [TEX]a+b-1[/TEX] nguyên tố cùng nhau
Do đó:
Th1: [tex]\left\{\begin{matrix} a+b=3a\\a+b-1=3+b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=4\\ b=8 \end{matrix}\right.\Rightarrow \overline{ab}=48[/tex]
Th2: [tex]\left\{\begin{matrix} a+b=3+b\\a+b-1=3a \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=3\\b=7 \end{matrix}\right.\Rightarrow \overline{ab}=37[/tex]
Vậy...
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
