Số chính phương

[cuong131hv]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm các số nguyên dương n sao cho 2 số 2n+2003 và 3n+2005 đều là những số chính phương

 

[thaolovely1412]

Gọi [TEX]2n + 2003 = a^2 ; 3n + 2005 = b^2 (a, b \in N*)[/TEX].
[TEX]3a^2 - 2b^2 =3(2n+2003)-2(3n+2005)=1999 \not\vdots\ 2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 3a^2 \no\vdots\ 2 \Rightarrow a \not\vdots\ 2[/TEX]
Đặt [TEX]a = 2a_1 + 1(a_1 \in N) \Rightarrow 2b^2 =3(2a_1+1)^2-1999=3.4a_1 (a_1+1) - 1996 = 3.4a_1 (a_1+1) - 2000 + 4 \vdots\ 4, không chia hết cho 8[/TEX]
Suy ra $b^2$ chia hết cho 2 mà không chia hết cho 4 (vô lý)
Vậy không tồn tại số nguyên dương n thoả mãn.

 

[mrsimper]

giả sử x=2n+2003 và y=3n+2005\Rightarrow x,y là những số chính phương
đặt x=k^2 (1),y=m^2 (2) (k,m thuộc N)
ta có (2)-(1)\Leftrightarrow n+2=m^2-k^2
ta có x=2n+2003\Rightarrow 3x=6n+6009; y=3n+2005\Rightarrow 2y=6n+4010
\Rightarrow 3x-2y=3k^2-2m^2=1999 (3)
từ 2n+2003=k^2\Rightarrow k là số lẻ
đặt k=2a+1 (a thuộc Z) \Rightarrow (3)\Leftrightarrow 3(2a+1)^2-2m^2=1999
\Leftrightarrow 12a^2+12a-1996=2m^2\Rightarrow 6a^2+6a-998=m^2
\Rightarrow m^2=6a(a+1)-1000+2 (4)
vì a(a+1) chia hết cho 2,nên 6a(a+1) chia hết cô 4,mà 1000 chia hết cho 4
\Rightarrow (4) chia 4 dư 2
hay m^2 chia 4 dư 2 (vô lí)
vậy không có số nguyên dương n thỏa mãn


Học gõ $LaTex$ tại Đây