số chính phương

[congan98]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: chứng minh các số sau là các số chính phương
a) 224999........9*100........09
( có n-2 chữ số chín,n chữ số 0)
b) 9+2^n
c) 3^n+19
(n là các số tự nhiên)
Bài 2: cho f(x) là các đa thức hệ số nguyên và thỏa mãn
f(0)=0; f(1)=2
chứng minh f(7) không phải là số chính phương

 

[harrypham]

1.b, Có hai cách để giải quyết bài toán kiểu này:
Cách 1. Đặt $A=9+2^n$. Xét:
TH1: Với $n$ lẻ thì đặt $n=2k+1, \; k \in \mathbb{N}$ thì $A=9+4^k \cdot 2 \equiv 3 \pmod{4}$ không thể là số chính phương.
TH2: Với $n$ chẵn thì $n=2k, \; k \in \mathbb{N}$ thì $A=9+(2^k)^2$. Để $A$ là số chính phương, ta đặt $A=p^2, \; p \in \mathbb{N}^*$ thì suy ra $(p-2^k)(p+2^k)=9$. Ta nhận xét thấy $0<p-2^k<p+2^k$ nên chỉ có thể $p+2^k=9,p-2^k=1$, suy ra $2^k=4$, do đó $k=2$ nên $\boxed{n=4}$.
Cách 2. Đặt $A=p^2, \; (p \in \mathbb{N})$ suy ra $(p-3)(p+3)=2^n$. Do đó tiếp tục đặt $p+3=2^k,p-3=2^b$ với $k>b;k,b \in \mathbb{N}$. Khi đó ta có $2^k-2^b=6 \iff 2^b(2^{k-b}-1)=6$, hiển nhiên $2^{k-b}-1$ lẻ và $2^{k-b}-1>0$ nên $2^{k-b}-1=3$, suy ra $k-b=2$ và $2^b=2$, thì $b=1 \implies n=k+b=1+3= \fbox{4}$.

c, Tương tự.

 

[vietlinh_ptp]

Bài 1: chứng minh các số sau là các số chính phương
a) 224999........9*100........09
( có n-2 chữ số chín,n chữ số 0)
b) 9+2^n
c) 3^n+19
(n là các số tự nhiên)
Bài 2: cho f(x) là các đa thức hệ số nguyên và thỏa mãn
f(0)=0; f(1)=2
chứng minh f(7) không phải là số chính phương

GIAI
1)a. 22499..9100...09 (co n-2 chu so 9; n chu so 0)
=224.10^(2n)+99...9.10^(n+2) + 10^(n+1) +9
= 224.10^(2n)+[10^(n-2) -1].10^(n+2) + 10^(n+1)+9
=224.10^(2n) + 10^2n - 10^(n+2) +10^(n+1) +5
=225.10^(2n)-90.10^n+9
\Rightarrow (15.10^n -3)^2
vay day la so chinh phuong &lt;&lt;&lt;\\/\\/\\/