Ai giải giúp mình hai bài này với:
- Cho a, b là hai số nguyên dương sao cho [TEX]A=\frac{a^2+b^2}{ab+1}[/TEX] là số nguyên. CMR: A là số chính phương
- Giả sử x,y là các số nguyên dương sao cho [TEX]A=\frac{x^2+y^2+6}{xy}[/TEX] là một số nguyên. CMR: A là số lập phương đúng
Bài 1:
Ta có [TEX]Aab+A=a^2+b^2[/TEX] (1)
Trong các cặp số nguyên dương (a;b) TM (1). gọi [TEX](a_0;b_0)[/TEX] là cặp số có tổng [TEX]a_0+b_0[/TEX] bé nhất. Ko mất tính tổng quát, giả sử [TEX]a_0 \leq b_0[/TEX]
Xét Pt : [TEX]b^2-Aa_0b+{a_0}^2-A=0[/TEX] (2)
Ta thấy [TEX]b_0[/TEX] là 1 nghiệm của phương trình (2), gọi [TEX]b_1[/TEX] là nghiệm còn lại của phương trình (2)
\Rightarrow [TEX]b_0 \leq b_1[/TEX]
Theo định lí Viet ta có
[TEX]b_0+b_1=Aa_0[/TEX] (3)
[TEX]b_0 b_1={a_0}^2-A[/TEX] (4)
Xét các trường hợp:
+ [TEX]a_0=b_0[/TEX]
Từ (1) suy ra [TEX]A{a_0}^2+A=2{a_0}^2[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]A({a_0}^2+1)=2{a_0}^2[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]a_0=1[/TEX]vì [TEX]x_0\geq0[/TEX]
+ [TEX]b_0=b_1[/TEX]
Từ (4) \Leftrightarrow [TEX]{b_0}^2={a_0}^2-A[/TEX]
Vô lí vì [TEX]b_0 \geq a_0[/TEX] và [TEX]A\geq0[/TEX]
+ [TEX] a_0 < b_0 < b_1[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]b_0 \geq x_0+1[/TEX], [TEX]b_1 \geq x_0+2[/TEX]
Từ (4) \Leftrightarrow [TEX](x_0+1)(x_0+2) \leq {x_0}^2-A [/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]3x_0+2+A\leq0[/TEX]
Vô lí
Vậy A=1 là một số chính phương
Bài 2 tương tự A=8
Bài 1 là đề thi vô địch quốc tế năm 1988, bài 2 là đề thi lam sơn năm 2008-2009
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn