Số chính phương (khó)

[manhnguyen0164]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Với mọi n>1 thì $A=n^6-n^4+2n^3+2n^2$ không thể là số chính phương
2) Chứng minh nếu các số a và b đều là tổng của 2 số chính phương thì tích ab cũng là tổng của hai số chính phương

 

[vipboycodon]

1. $A = n^6-n^4+2n^3+2n^2$
$A = n^4(n^2-1)+2n^2(n+1)$
$A = (n+1)[n^4(n-1)+2n^2]$
$A = (n+1)(n^5-n^4+2n^2)$
$A = (n+1)n^2(n^3-n^2+2)$
$A = n^2(n+1)(n+1)(n^2-2n+2)$
$A = n^2(n+1)^2(n^2-2n+2)$
Mà $n^2-2n+2 = (n-1)^2+1$ không thể là số chính phương nên A không phải là số chính phương.

 

[vipboycodon]

2. Đặt $a = x^2+y^2$ , $b = t^2+v^2$
=> $ab = (x^2+y^2)(t^2+v^2)$
$ab = x^2t^2+x^2v^2+y^2t^2+y^2v^2$
$ab = x^2t^2-2xtyv+y^2v^2+x^2v^2+2xvyt+y^2t^2$
$ab = (xt-yv)^2+(xv+yt)^2$ (đpcm)