Siêu toán giúp mình giải bài gtnn này nha

[kitty286]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y là số thực thỏa [tex]\(x+y)^3[/tex]+4xy\geq2. Tìm GTNN của:
A=3.([tex] x^4+y^4+x^2y^2[/tex]) - 2. ([tex]x^2+y^2[/tex]) +1

 

[tuyn]

[TEX]2 \leq (x+y)^3+4xy \leq (x+y)^3+(x+y)^2 \Leftrightarrow (x+y)^3+(x+y)^2-2 \geq 0 \Leftrightarrow [(x+y)-1][(x+y)^2+2(x+y)+2] \geq 0 \Leftrightarrow x+y \geq 1 \Rightarrow 1 \leq (x+y)^2 \leq 2(x^2+y^2) \Leftrightarrow x^2+y^2 \geq \frac{1}{2}[/TEX]
Ta có:
[TEX]A=\frac{3}{2}(x^4+y^4)+\frac{3}{2}(x^4+y^4+2x^2y^2)-2(x^2+y^2)+1 \geq \frac{3}{4}(x^2+y^2)^2+\frac{3}{2}(x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)+1=\frac{9}{4}(x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)+1[/TEX]
Đặt [TEX]t=x^2+y^2 \geq \frac{1}{2} \Rightarrow A \geq f(t)=\frac{9t^2}{4}-2t+1, t \geq \frac{1}{2}[/TEX]
[TEX]f'(t)=\frac{9t}{2}-2 \geq \frac{9}{2}.\frac{1}{2}-2=\frac{1}{4} > 0 \Rightarrow f(t) dong bien \Rightarrow f(t) \geq f(\frac{1}{2})=\frac{9}{16}[/TEX]
Vậy [TEX]MinA=\frac{9}{16} khi x=y=\frac{1}{2}[/TEX]