Toán 10 [SGK Mới] Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

[Alice_www]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC​

1. Định lí côsin

Chứng minh định lí

[imath]\cos \alpha=\dfrac{AD}{c}\Rightarrow AD=c\cos \alpha[/imath]

[imath]a^2=BD^2+CD^2=c^2-AD^2+(AD+b)^2=c^2+2AD.b+b^2[/imath]

[imath]=c^2+2cb\cos \alpha+b^2=c^2-2cb\cos A+b^2[/imath]


Người ta cũng CM đối với cả trường hợp góc A là góc vuông hoặc nhọn (Các bạn đọc có thể tự CM)

Định lí côsin. Trong tam giác ABC:

[imath]a^2=b^2+c^2-2bc\cos A[/imath]
[imath]b^2=c^2+a^2-2ca\cos B[/imath]
[imath]c^2=a^2+b^2-2ab\cos C[/imath]
​

Luyện tập 1. Cho tam giác [imath]ABC[/imath] có [imath]AB=5, AC=8[/imath] và [imath]\widehat{A}=45^\circ[/imath]. Tính độ dài các cạnh và độ lớn các góc còn lại của tam giác.

Áp dụng định lí coossin cho tam giác ABC, ta có:
[imath]BC^2=AB^2+AC^2-2AB.AC\cos \widehat{A}=89-40\sqrt2\Rightarrow BC=\sqrt{89-40\sqrt2}[/imath]

[imath]\cos \widehat{B}=\dfrac{AB^2+BC^2-AC^2}{2AB.BC}=\dfrac{50-40\sqrt2}{10(89-40\sqrt2)}\Rightarrow \widehat{B}\approx 91.16^\circ[/imath]

[imath]\Rightarrow \widehat{C}=180^\circ-\widehat{A}-\widehat{B}=43.84^\circ[/imath]

2. Định lí sin
Chứng minh định lí a) trong trường hợp tam giác ABC nhọn, b) trong trường hợp tam giác ABC tù

​

a) Xét [imath]\Delta CBM[/imath] vuông tại C có [imath]\sin \widehat{BMC}=\dfrac{BC}{BM}=\dfrac{a}{2R}[/imath]

Mà [imath]\widehat{BMC}=\widehat{BAC}[/imath]
Suy ra [imath]\dfrac{a}{\sin \widehat{BAC}}=2R[/imath]

b) Xét [imath]\Delta CBM[/imath] vuông tại C có [imath]\sin \widehat{BMC}=\dfrac{BC}{BM}=\dfrac{a}{2R}[/imath]

[imath]\widehat{BAC}[/imath] chắn cung lớn BC; [imath]\widehat{BMC}[/imath] chắn cung bé BC
[imath]\Rightarrow \widehat{BAC}+ \widehat{BMC}=180^\circ\Rightarrow \sin \widehat{BAC}=\sin \widehat{BMC}[/imath]
Suy ra [imath]\dfrac{a}{\sin \widehat{BAC}}=2R[/imath]

Định lí sin. Trong tam giác ABC: [imath]\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin c}=2R[/imath]​

Luyện tập 2. Cho tam giác ABC có [imath]b=8,c=5[/imath] và [imath]\widehat{B}=80^\circ[/imath]. Tính số đo các góc, bán kính đường tròn ngoại tiếp và độ dài cạnh còn lại của tam giác.

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC có
[imath]R=\dfrac{b}{2\sin \widehat{B}}\approx 4.06[/imath]

[imath]\dfrac{b}{\sin \widehat{B}}=\dfrac{c}{\sin \widehat{C}}\Rightarrow \sin \widehat{C}=\dfrac{c.\sin \widehat{B}}{b}\Rightarrow \widehat{C}\approx 38^\circ[/imath]

[imath]\Rightarrow \widehat{A}=180^\circ-\widehat{B}-\widehat{C}=62^\circ[/imath]

[imath]\dfrac{b}{\sin \widehat{B}}=\dfrac{a}{\sin \widehat{A}}\Rightarrow a=\dfrac{b\sin \widehat{A}}{\sin \widehat{B}}\approx 7.17[/imath]

Hôm nay tạm đến đây thôi nhé

Hẹn gặp lại các bạn ở các bài tiếp theo nha

 

[Alice_www]

3. Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Luyện tập 3. Giải tam giác ABC, biết [imath]b=32,c=45,\widehat{A}=87^\circ[/imath]

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC có
[imath]a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\Rightarrow a\approx 53,84[/imath]

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC có
[imath]\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}\Rightarrow \sin B=\dfrac{b\sin A}a\Rightarrow \widehat{B}=36,4^\circ[/imath]

[imath]\Rightarrow \widehat{C}=180^\circ-\widehat{B}-\widehat{A}\approx 56,6^\circ[/imath]

Chú ý: Áp dụng định lí cosin, sin và sử dụng máy tính cầm tay, ta có thể tính (gần đúng) các cạnh và các góc của một tam giác trong các trường hợp sau:
+ Biết hai cạnh và góc xen giữa
+ Biết ba cạnh
+ Biết một cạnh và hai góc kề

4. Công thức tính diện tích tam giác

Các CT tính diện tích tam giác

(1) [imath]S=pr=\dfrac{(a+b+c)r}2[/imath]

(2) [imath]S=\dfrac{1}2bc\sin A=\dfrac{1}2ca\sin B=\dfrac{1}2ab\sin C[/imath]

(3) [imath]S=\dfrac{abc}{4R}[/imath] (do [imath]\sin C=\dfrac{c}{2R})[/imath]

(4) [imath]S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/imath] (Công thức Heron)

CM CT (1) [imath]S_{ABC}=S_{IAB}+S_{IBC}+S_{ICA}=\dfrac{(a+b+c)r}2[/imath]	​
CM CT (2) trong trường hợp tam giác nhọn [imath]\sin A=\dfrac{BD}{AB}\Rightarrow BD=AB\sin A[/imath] [imath]S=\dfrac{1}2BD.AC=\dfrac{1}2 AB.\sin A.AC=\dfrac{1}2bc\sin A[/imath]	​
CM CT (2) trong trường hợp tam giác tù [imath]\sin \widehat{BAD}=\sin A=\dfrac{BD}{AB}\Rightarrow BD=AB\sin A[/imath] [imath]S=\dfrac{1}2BD.AC=\dfrac{1}2 AB.\sin A.AC=\dfrac{1}2bc\sin A[/imath]	​

Chứng minh công thức Heron

[imath]\cos C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}[/imath]

[imath]\sin C=\sqrt{1-\cos ^2C}=\sqrt{1-\dfrac{(a^2+b^2-c^2)^2}{4a^2b^2}}=\dfrac{\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}}{2ab}[/imath]

[imath]S=\dfrac{1}2ab.\sin C=\dfrac{1}4\sqrt{[2ab-(a^2+b^2-c^2)][2ab+(a^2+b^2-c^2)]}[/imath]

[imath]=\dfrac{1}4\sqrt{[c^2-(a-b)^2][(a+b)^2-c^2]}=\dfrac{1}4\sqrt{(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/imath]

Hehee hôm nay dừng lại tại đây nhé
Bên trên là những công thức tính diện tích tam giác rất quan trọng, được sử dụng rất nhiều.
Các bạn hãy cố gắng ghi nhớ nhé <3

 

[Alice_www]

BÀI TẬP
​

Phần toán lý thuyết

3.5 Cho tam giác ABC có a=6,b=5,c=8. Tính cos A, S,r

[imath]\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac{53}{80}\Rightarrow \widehat{A}\approx 48,51^\circ[/imath] [imath]p=\dfrac{a+b+c}2=\dfrac{19}2[/imath] [imath]S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\dfrac{3\sqrt{399}}{4}[/imath] [imath]S=pr\Rightarrow r=\dfrac{S}p=\dfrac{3\sqrt{399}}{38}[/imath]

3.6 Cho tam giác ABC có [imath]a=10, \widehat{A}=45^\circ, \widehat{B}=70^\circ[/imath]. Tính R,b,c.

[imath]\dfrac{a}{\sin A}=2R\Rightarrow R=\dfrac{a}{2\sin A}=5\sqrt2[/imath] [imath]\widehat{C}=180^\circ-\widehat{A}-\widehat{B}=65^\circ[/imath] [imath]\dfrac{b}{\sin B}=2R=10\sqrt2\Rightarrow b=10\sqrt2\sin B\approx 13,29[/imath] [imath]\dfrac{c}{\sin C}=2R=10\sqrt2\Rightarrow c=10\sqrt2\sin C\approx 12,82[/imath]

3.7 Giải tam giác ABC và tính diện tích của tam giác đó, biết [imath]\widehat{A}=15^\circ, \widehat{B}=130^\circ, c=6[/imath]

[imath]\widehat{C}=180^\circ-\widehat{A}-\widehat{B}=35^\circ[/imath] [imath]\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}\approx 10,46[/imath] [imath]\Rightarrow a=2,71; b=8,01[/imath] [imath]S=\dfrac{1}2ab\sin C\approx 6,23[/imath]

Phần toán thực tế

3.8

a) Gọi B là nơi thuyền bị hư, C là hòn đảo
Kẻ [imath]BD\bot AE[/imath]
[imath]AB=70.1,5=105; BC=8.2=16[/imath]

[imath]BD=AB\sin \widehat{BAD}=105.\sin 20^\circ\approx 35,91; AD=AB\sin \widehat{BAD}\approx 98,67[/imath]

[imath]\Rightarrow CD=51,91\Rightarrow AC=\sqrt{CD^2+AD^2}\approx 111,5[/imath]

b) [imath]\cos \widehat{CAB}=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB.AC}\Rightarrow \widehat{CAB}=7,75^\circ[/imath]

[imath]\Rightarrow \widehat{SAC}=\widehat{SAB}-\widehat{CAB}=62,25^\circ[/imath]

Hướng từ cảng A tới đảo nơi neo đậu là [imath]S62,25^\circ E[/imath]

3.9


a) [imath]\widehat{ADC}=90^\circ-\widehat{DAC}=50^\circ[/imath]

[imath]\Rightarrow \widehat{BCA}=180^\circ-\widehat{DCA}=130^\circ[/imath]

[imath]\widehat{BAC}=50^\circ-40^\circ=10^\circ[/imath]

[imath]\widehat{CBA}=180^\circ-\widehat{BAC}-\widehat{BCA}=40^\circ[/imath]

b) [imath]\tan \widehat{CAD}=\dfrac{CD}{AD}\Rightarrow CD=0,84AD[/imath]

[imath]AB=\dfrac{AD}{\cos \widehat{DAB}}=1,56AD[/imath]

[imath]AB^2=AD^2+DB^2\Rightarrow (1,56AD)^2=AD^2+(5+0,84AD)^2[/imath]

[imath]\Rightarrow AD=14\Rightarrow CD=11,76\Rightarrow h=CD+7=18,76[/imath]

3.10


Lấy 3 điểm [imath]B,A,C[/imath] theo thứ tự bất kì

Khi đó ta tính được [imath]AB,AC, \widehat{BAD}; \widehat{EAC};\widehat{DBA};\widehat{ACE}[/imath]

Do đó ta sẽ dễ dàng giải được [imath]\Delta ABD; \Delta ACE[/imath]
(th3 trong chú ý phần 3)

Từ đó ta có [imath]\widehat{DAE};AD,AE[/imath]. Vậy ta sẽ tính được cạnh DE (tức bề rộng hòn đảo)

3.11


[imath]AC^2=BA^2+BA^2-2BA.BC.\cos\widehat{CBA}\Rightarrow AC\approx 11,17[/imath]

[imath]\dfrac{AC}{\sin \widehat{CBA}}=\dfrac{AB}{\sin \widehat{ACB}}\Rightarrow \sin \widehat{ACB}\approx 0,69\Rightarrow \widehat{ACB}=43,77^\circ[/imath]

[imath]\Rightarrow \widehat{DCA}=135^\circ -\widehat{ACB}=91,23^\circ[/imath]

[imath]AD^2=CA^2+CD^2-2CA.CD.\cos \widehat{DAC}\Rightarrow AD\approx 16,57[/imath]

Độ dài đường mới giảm: [imath]AB+BC+CD-AD\approx 12+6+8-16,57\approx 9,43[/imath]


Phù cuối cùng cũng xong bt