Toán 11 Serbia TST 2009

[Minhhoangp05]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Giúp mình với ạ!!(theo phép nghịch đảo ạ)

(Serbia TST 2009) Cho tam giác ABC không cân ngoại tiếp đường tròn ( I ) . Đường tròn ( I ) tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại P, Q, R. QR cắt BC tại M. Đường tròn ([tex]\omega[/tex] ) đi qua B,C và tiếp xúc ngoài với ( I ) tại N. Đường tròn (MNP) cắt AP tại điểm thứ hai là L. Chứng minh rằng I, L, M thẳng hàng.

 

[7 1 2 5]

Xét [tex]I_{I}^{IA^2}: (ARQ)\leftrightarrow RQ[/tex]
Khi đó qua phép nghịch đảo thì [tex]M \leftrightarrow L'[/tex]. Vì [TEX]M \in QR \Rightarrow L' \in (ARQ)[/TEX]
Từ đó [tex]\widehat{AL'I}=90^o[/tex]. Mà [TEX]IP^2=IL.IM \Rightarrow \widehat{ML'P}=90^o=\widehat{AL'I}[/TEX]
Lại có [TEX]I,L',M[/TEX] thẳng hàng nên [TEX]A,L',P[/TEX] thẳng hàng.
Gọi E là trung điểm MP thì áp dụng hệ thức Newton cho [TEX](MP,BC)=-1[/TEX] ta có [TEX]EP^2=EB.EC[/TEX]
Từ đó E thuộc trục đẳng phương của [TEX](BNC),(I)[/TEX]. Mà [TEX](BNC)[/TEX] tiếp xúc [TEX](I)[/TEX] nên trục đẳng phương của chúng là tiếp tuyến tại N, tức [TEX]EN[/TEX] là tiếp tuyến của 2 đường tròn.
Suy ra [TEX]EN=EP=\frac{1}{2}MP \Rightarrow BNL'C[/TEX] nội tiếp. Từ đó [TEX]L \equiv L'[/TEX] hay [TEX]I,L,M[/TEX] thẳng hàng.