Sáng tạo từ 1 bất đẳng thức

[changruabecon]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Những bài toán này mình xem qua ở Toán tuổi thơ THCS rất lâu rồi, nhưng thấy hay nên muốn các bạn cùng làm.
Từ 1 bất đẳng thức, ta có thể suy ra được rất nhiều bất đẳng thức khác.
Bài toán:
Cho a, b, c là những số thực dương bất kì và x, y, z là những số thực dương . Khi đó ta luôn chứng minh được những BĐT sau
a) [TEX]\frac{a^2}{x}[/TEX]+[TEX]\frac{b^2}{y}[/TEX]\geq[TEX]\frac{(a+b)^2}{x+y}[/TEX](1)
b)[TEX]\frac{a^2}{x}[/TEX]+[TEX]\frac{b^2}{y}[/TEX]+[TEX]\frac{c^2}{z}[/TEX]\geq[TEX]\frac{(a+b+c)^2}{x+y+z}[/TEX](2)

Các bạn c/m được 2 bất đẳng thức trên, mình sẽ cho thêm ứng dụng của 2 bất đẳng thức đó trong việc giải các bài toán khác

 

[bosjeunhan]

Đây là BĐT svacxo mà em
Chứng minh tổng quát thì dùng bunia thôi.
Từ tổng quát suy ra đc các trường hợp cụ thể

 

[changruabecon]

Trả lời

Thế em không biết tên của BĐT trên. Nếu như vậy thì áp dụng BĐT chứng minh bài này được không
Bài 2: Cho 3 số thực dương a, b, c thoả mãn a+b+c\leq1.. Chứng minh rằng
[TEX]\frac{1}{a^2+2bc}[/TEX]+ [TEX]\frac{1}{b^2+2ca}[/TEX]+ [TEX]\frac{1}{c^2+2ab[/TEX] \geq9.

 

[vodichhocmai]

Thế em không biết tên của BĐT trên. Nếu như vậy thì áp dụng BĐT chứng minh bài này được không
Bài 2: Cho 3 số thực dương a, b, c thoả mãn a+b+c\leq1.. Chứng minh rằng
[TEX]\frac{1}{a^2+2bc}[/TEX]+ [TEX]\frac{1}{b^2+2ca}[/TEX]+ [TEX]\frac{1}{c^2+2ab[/TEX] \geq9.

Em éo ko biết nhưng em làm được bằng [TEX]AM-GM[/TEX] trực tiếp . Ko biết co úng ko nữa chứ . Hên xuj đi

 

[changruabecon]

Trả lời

thế bạn vodichhocmai làm thử hộ được không? bằng BĐT AM-GT

 

[maikhaiok]

Thế em không biết tên của BĐT trên. Nếu như vậy thì áp dụng BĐT chứng minh bài này được không
Bài 2: Cho 3 số thực dương a, b, c thoả mãn a+b+c\leq1.. Chứng minh rằng
[TEX]\frac{1}{a^2+2bc}[/TEX]+ [TEX]\frac{1}{b^2+2ca}[/TEX]+ [TEX]\frac{1}{c^2+2ab[/TEX] \geq9.

Theo BĐT BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel hay còn gọi là BĐT Schwarz
ta có:
[TEX]\frac{1}{{{a^2} + 2bc}} + \frac{1}{{{b^2} + 2ca}} + \frac{1}{{{c^2} + 2ab}} \ge \frac{{{{(1 + 1 + 1)}^2}}}{{{{(a + b + c)}^2}}} \ge 9[/TEX] ( do a+b+c\leq1

 

[vodichhocmai]

thế bạn vodichhocmai làm thử hộ được không? bằng BĐT AM-GT

Mình 8 trong này tí đi , Bạn có thích BDT ko Mình ko thích lắm @-) THấy ớn quá

 

[maikhaiok]

Mình 8 trong này tí đi , Bạn có thích BDT ko Mình ko thích lắm @-) THấy ớn quá

Nếu bạn có cách làm theo AM-GM thì post mau lên cho ae coi! ko nên spam như thế
|

 

[star_music]

Thế em không biết tên của BĐT trên. Nếu như vậy thì áp dụng BĐT chứng minh bài này được không
Bài 2: Cho 3 số thực dương a, b, c thoả mãn a+b+c\leq1.. Chứng minh rằng
[TEX]\frac{1}{a^2+2bc}[/TEX]+ [TEX]\frac{1}{b^2+2ca}[/TEX]+ [TEX]\frac{1}{c^2+2ab[/TEX] \geq9.

[TEX]\frac{1}{a^2+2bc}+9(a^2+2bc) \geq 6 \Rightarrow \frac{1}{a^2+2bc} \geq 6-9(a^2+2bc) AM-GM[/TEX]
CM tương tự:
[TEX]\frac{1}{b^2+2ca} \geq 6-9(b^2+2ca)[/TEX]
[TEX]\frac{1}{c^2+2ab} \geq 6-9(c^2+2ab)[/TEX]
Cộng vế theo vế,ta đc:
[TEX]VT \geq 18-9(a+b+c)^2 \geq 18-9=9[/TEX]