L
lolem_theki_xxi
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Bắt đầu từ hằng đẳng thức quen thuộc: [TEX]{a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)[/TEX]
Cộng thêm một chút kiến thức về bất đẳng thức: [TEX]{a^2} + {b^2} \ge 2ab[/TEX]
Ta có bài toán về bất đẳng thức thứ nhất:
Bài toán 1: Chứng minh rằng nếu [TEX]a,b \ge 0[/TEX] ta có: [TEX]{a^3} + {b^3} \ge ab\left( {a + b} \right) (1)[/TEX]
Thật nực cười với bất đẳng thức trên mà cũng gọi là sáng tạo phải không các bạn? Đó mới chỉ là khởi đầu thôi. Một lời khuyên là đừng bao giờ xem thường các bài toán dễ. Ẩn sâu trong nó là các kết quả bất ngờ đấy.
Ta bắt đầu con đường sáng tạo:
Với điều kiện [TEX]a,b>0[/TEX] chia hai vế của bdt [TEX](1)[/TEX] Cho [TEX]{a^2}{b^3}[/TEX] thu được ngay:
[TEX]\frac{a}{{{b^3}}} + \frac{1}{{{a^2}}} \ge \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{ab}}[/TEX]
Bằng cách tương tự hóa ta có:
[TEX]\frac{b}{{{c^3}}} + \frac{1}{{{b^2}}} \ge \frac{1}{{{c^2}}} + \frac{1}{{bc}}[/TEX]
[TEX]\frac{c}{{{a^3}}} + \frac{1}{{{c^2}}} \ge \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{ca}}[/TEX]
Cộng ba bất đẳng thức trên ta có bài toán thứ hai:
Bài toán 2: Cho các số thực dương [TEX]a,b,c[/TEX]. Chứng minh rằng: [TEX]\frac{a}{{{b^3}}} + \frac{b}{{{c^3}}} + \frac{c}{{{a^3}}} \ge \frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{bc}} + \frac{1}{{ca}}[/TEX]
Cũng từ bdt [TEX](1)[/TEX] với điều kiện [TEX]a,b>0[/TEX] ta chia hai vế cho [TEX]ab^3[/TEX] thu được:
[TEX]\frac{{{a^2}}}{{{b^3}}} + \frac{1}{a} \ge \frac{a}{{{b^2}}} + \frac{1}{b}[/TEX]
Lại bằng cách tương tự:
[TEX]\frac{{{b^2}}}{{{c^3}}} + \frac{1}{b} \ge \frac{b}{{{c^2}}} + \frac{1}{c}[/TEX]
[TEX]\frac{{{c^2}}}{{{a^3}}} + \frac{1}{c} \ge \frac{c}{{{a^2}}} + \frac{1}{a}[/TEX]
Cộng ba bất đẳng thức ta có bài toán thứ ba:
Bài toán 3: Cho các số thực dương [TEX]a,b,c[/TEX]. Chứng minh rằng: [TEX]\frac{{{a^2}}}{{{b^3}}} + \frac{{{b^2}}}{{{c^3}}} + \frac{{{c^2}}}{{{a^3}}} \ge \frac{a}{{{b^2}}} + \frac{b}{{{c^2}}} + \frac{c}{{{a^2}}}[/TEX]
Cũng theo bài toán 3:
[TEX]\frac{a}{{{b^2}}} + \frac{1}{a} \ge \frac{2}{b}[/TEX]
[TEX]\frac{b}{{{c^2}}} + \frac{1}{b} \ge \frac{2}{c}[/TEX]
[TEX]\frac{c}{{{a^2}}} + \frac{1}{c} \ge \frac{2}{a}[/TEX]
Nên: [TEX]\frac{a}{{{b^2}}} + \frac{b}{{{c^2}}} + \frac{c}{{{a^2}}} \ge \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{{ab + bc + ca}}{{abc}}[/TEX]
Ta có bài toán thứ tư:
Bài toán 4: Cho các số dương [TEX]a,b,c[/TEX]. Chứng minh rằng: [TEX]\frac{{{a^2}}}{{{b^3}}} + \frac{{{b^2}}}{{{c^3}}} + \frac{{{c^2}}}{{{a^3}}} \ge \frac{{ab + bc + ca}}{{abc}}[/TEX]
Từ bdt [TEX](1)[/TEX] có: [TEX]{a^3} + {b^3} + abc \ge ab\left( {a + b + c} \right)[/TEX]
Với điều kiện [TEX]a,b,c>0[/TEX]
[TEX]{a^3} + {b^3} + abc \ge ab\left( {a + b + c} \right) \Rightarrow \frac{1}{{{a^3} + {b^3} + abc}} \le \frac{1}{{ab\left( {a + b + c} \right)}}[/TEX]
Tương tự:
[TEX]\frac{1}{{{b^3} + {c^3} + abc}} \le \frac{1}{{bc\left( {a + b + c} \right)}}[/TEX]
[TEX]\frac{1}{{{c^3} + {a^3} + abc}} \le \frac{1}{{ca\left( {a + b + c} \right)}}[/TEX]
Cộng ba bất đẳng thức lại ta có bài toán thứ năm.
Bài toán 5 ( IMO - 1995): Cho ba số thực dương [TEX]a,b,c[/TEX]. Chứng minh rằng: [TEX]\frac{1}{{{a^3} + {b^3} + abc}} + \frac{1}{{{b^3} + {c^3} + abc}} + \frac{1}{{{c^3} + {a^3} + abc}} \le \frac{1}{{abc}}[/TEX]
Nếu thêm giả thiết [TEX]abc=1[/TEX] ta có bài toán thứ sáu:
Bài toán 6 ( ĐH Thủy lợi - 1998): Cho ba số thực dương [TEX]a,b,c[/TEX] thỏa mãn: [TEX]abc=1[/TEX]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: [TEX]P = \frac{1}{{{a^3} + {b^3} + 1}} + \frac{1}{{{b^3} + {c^3} + 1}} + \frac{1}{{{c^3} + {a^3} + 1}} [/TEX]
Vẫn xuất phát từ bdt [TEX](1)[/TEX]
[TEX]4\left( {{a^3} + {b^3}} \right) \ge 3\left( {{a^3} + {b^3}} \right) + ab\left( {a + b} \right) \ge {a^3} + {b^3} + 3ab\left( {a + b} \right) = {\left( {a + b} \right)^3}[/TEX]
[TEX] \Rightarrow \frac{{{a^3} + {b^3}}}{2} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^3}[/TEX]
Lại có: [TEX]\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}[/TEX]
Nhân vế với vế của hai bất đẳng thức ta được bài toán thứ sáu:
Bài toán 6: Cho hai số thực dương [TEX]a,b[/TEX]. Chứng minh rằng: [TEX]\left( {{a^3} + {b^3}} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right) \ge {\left( {a + b} \right)^2}[/TEX]
Mặt khác: Từ bất đẳng thức [TEX]\frac{{{a^3} + {b^3}}}{2} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^3}[/TEX]
[TEX] \Rightarrow \frac{1}{{{{\left( {a + b} \right)}^3}}} \ge \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{{a^3} + {b^3}}}} \right) \Rightarrow {\left( {\frac{c}{{a + b}}} \right)^3} \ge \frac{1}{4}\left( {\frac{{{c^3}}}{{{a^3} + {b^3}}}} \right)[/TEX]
Tương tự:
[TEX]{\left( {\frac{b}{{c + a}}} \right)^3} \ge \frac{1}{4}\left( {\frac{{{b^3}}}{{{c^3} + {a^3}}}} \right)[/TEX]
[TEX]{\left( {\frac{a}{{b + c}}} \right)^3} \ge \frac{1}{4}\left( {\frac{{{a^3}}}{{{b^3} + {c^3}}}} \right)[/TEX]
Cộng ba bất đẳng thức với chú ý: [TEX]\frac{{{a^3}}}{{{b^3} + {c^3}}} + \frac{{{b^3}}}{{{c^3} + {a^3}}} + \frac{{{c^3}}}{{{a^3} + {b^2}}} \ge \frac{3}{2}[/TEX]
ta được bài toán thứ bảy:
Bài toán 7: Cho ba số thực dương [TEX]a,b,c[/TEX]. Chứng minh rằng: [TEX]{\left( {\frac{a}{{b + c}}} \right)^3} + {\left( {\frac{b}{{c + a}}} \right)^3} + {\left( {\frac{c}{{a + b}}} \right)^3} \ge \frac{3}{8}[/TEX]
Lại từ bất đẳng thức: [TEX]\frac{{{a^3} + {b^3}}}{2} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^3}[/TEX]
[TEX] \Rightarrow a + b \le \sqrt[3]{{4\left( {{a^3} + {b^3}} \right)}} \Rightarrow \frac{c}{{\sqrt[3]{{{a^3} + {b^3}}}}} \le \frac{{c\sqrt[3]{4}}}{{a + b}}[/TEX]
Tương tự:
[TEX]\frac{a}{{\sqrt[3]{{{b^3} + {c^3}}}}} \le \frac{{a\sqrt[3]{4}}}{{\sqrt[3]{{{b^3} + {c^3}}}}}[/TEX]
[TEX]\frac{b}{{\sqrt[3]{{{a^3} + {c^3}}}}} \le \frac{{b\sqrt[3]{4}}}{{\sqrt[3]{{{a^3} + {c^3}}}}}[/TEX]
Với [TEX]a,b,c[/TEX] là ba cạnh của một tam giác ta lại có: [TEX]\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} < 2[/TEX]
Cộng ba bất đẳng thức đầu, kết hợp với bất đẳng thức cuối ta được:
Bài toán 8: Cho [TEX]a,b,c[/TEX] là ba cạnh một tam giác. Chứng minh rằng: [TEX]\frac{a}{{\sqrt[3]{{{b^3} + {c^3}}}}} + \frac{b}{{\sqrt[3]{{{a^3} + {c^3}}}}} + \frac{c}{{\sqrt[3]{{{a^3} + {b^3}}}}} < 2\sqrt[3]{4}[/TEX]
Cộng thêm một chút kiến thức về bất đẳng thức: [TEX]{a^2} + {b^2} \ge 2ab[/TEX]
Ta có bài toán về bất đẳng thức thứ nhất:
Bài toán 1: Chứng minh rằng nếu [TEX]a,b \ge 0[/TEX] ta có: [TEX]{a^3} + {b^3} \ge ab\left( {a + b} \right) (1)[/TEX]
Thật nực cười với bất đẳng thức trên mà cũng gọi là sáng tạo phải không các bạn? Đó mới chỉ là khởi đầu thôi. Một lời khuyên là đừng bao giờ xem thường các bài toán dễ. Ẩn sâu trong nó là các kết quả bất ngờ đấy.
Ta bắt đầu con đường sáng tạo:
Với điều kiện [TEX]a,b>0[/TEX] chia hai vế của bdt [TEX](1)[/TEX] Cho [TEX]{a^2}{b^3}[/TEX] thu được ngay:
[TEX]\frac{a}{{{b^3}}} + \frac{1}{{{a^2}}} \ge \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{ab}}[/TEX]
Bằng cách tương tự hóa ta có:
[TEX]\frac{b}{{{c^3}}} + \frac{1}{{{b^2}}} \ge \frac{1}{{{c^2}}} + \frac{1}{{bc}}[/TEX]
[TEX]\frac{c}{{{a^3}}} + \frac{1}{{{c^2}}} \ge \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{ca}}[/TEX]
Cộng ba bất đẳng thức trên ta có bài toán thứ hai:
Bài toán 2: Cho các số thực dương [TEX]a,b,c[/TEX]. Chứng minh rằng: [TEX]\frac{a}{{{b^3}}} + \frac{b}{{{c^3}}} + \frac{c}{{{a^3}}} \ge \frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{bc}} + \frac{1}{{ca}}[/TEX]
Cũng từ bdt [TEX](1)[/TEX] với điều kiện [TEX]a,b>0[/TEX] ta chia hai vế cho [TEX]ab^3[/TEX] thu được:
[TEX]\frac{{{a^2}}}{{{b^3}}} + \frac{1}{a} \ge \frac{a}{{{b^2}}} + \frac{1}{b}[/TEX]
Lại bằng cách tương tự:
[TEX]\frac{{{b^2}}}{{{c^3}}} + \frac{1}{b} \ge \frac{b}{{{c^2}}} + \frac{1}{c}[/TEX]
[TEX]\frac{{{c^2}}}{{{a^3}}} + \frac{1}{c} \ge \frac{c}{{{a^2}}} + \frac{1}{a}[/TEX]
Cộng ba bất đẳng thức ta có bài toán thứ ba:
Bài toán 3: Cho các số thực dương [TEX]a,b,c[/TEX]. Chứng minh rằng: [TEX]\frac{{{a^2}}}{{{b^3}}} + \frac{{{b^2}}}{{{c^3}}} + \frac{{{c^2}}}{{{a^3}}} \ge \frac{a}{{{b^2}}} + \frac{b}{{{c^2}}} + \frac{c}{{{a^2}}}[/TEX]
Cũng theo bài toán 3:
[TEX]\frac{a}{{{b^2}}} + \frac{1}{a} \ge \frac{2}{b}[/TEX]
[TEX]\frac{b}{{{c^2}}} + \frac{1}{b} \ge \frac{2}{c}[/TEX]
[TEX]\frac{c}{{{a^2}}} + \frac{1}{c} \ge \frac{2}{a}[/TEX]
Nên: [TEX]\frac{a}{{{b^2}}} + \frac{b}{{{c^2}}} + \frac{c}{{{a^2}}} \ge \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{{ab + bc + ca}}{{abc}}[/TEX]
Ta có bài toán thứ tư:
Bài toán 4: Cho các số dương [TEX]a,b,c[/TEX]. Chứng minh rằng: [TEX]\frac{{{a^2}}}{{{b^3}}} + \frac{{{b^2}}}{{{c^3}}} + \frac{{{c^2}}}{{{a^3}}} \ge \frac{{ab + bc + ca}}{{abc}}[/TEX]
Từ bdt [TEX](1)[/TEX] có: [TEX]{a^3} + {b^3} + abc \ge ab\left( {a + b + c} \right)[/TEX]
Với điều kiện [TEX]a,b,c>0[/TEX]
[TEX]{a^3} + {b^3} + abc \ge ab\left( {a + b + c} \right) \Rightarrow \frac{1}{{{a^3} + {b^3} + abc}} \le \frac{1}{{ab\left( {a + b + c} \right)}}[/TEX]
Tương tự:
[TEX]\frac{1}{{{b^3} + {c^3} + abc}} \le \frac{1}{{bc\left( {a + b + c} \right)}}[/TEX]
[TEX]\frac{1}{{{c^3} + {a^3} + abc}} \le \frac{1}{{ca\left( {a + b + c} \right)}}[/TEX]
Cộng ba bất đẳng thức lại ta có bài toán thứ năm.
Bài toán 5 ( IMO - 1995): Cho ba số thực dương [TEX]a,b,c[/TEX]. Chứng minh rằng: [TEX]\frac{1}{{{a^3} + {b^3} + abc}} + \frac{1}{{{b^3} + {c^3} + abc}} + \frac{1}{{{c^3} + {a^3} + abc}} \le \frac{1}{{abc}}[/TEX]
Nếu thêm giả thiết [TEX]abc=1[/TEX] ta có bài toán thứ sáu:
Bài toán 6 ( ĐH Thủy lợi - 1998): Cho ba số thực dương [TEX]a,b,c[/TEX] thỏa mãn: [TEX]abc=1[/TEX]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: [TEX]P = \frac{1}{{{a^3} + {b^3} + 1}} + \frac{1}{{{b^3} + {c^3} + 1}} + \frac{1}{{{c^3} + {a^3} + 1}} [/TEX]
Vẫn xuất phát từ bdt [TEX](1)[/TEX]
[TEX]4\left( {{a^3} + {b^3}} \right) \ge 3\left( {{a^3} + {b^3}} \right) + ab\left( {a + b} \right) \ge {a^3} + {b^3} + 3ab\left( {a + b} \right) = {\left( {a + b} \right)^3}[/TEX]
[TEX] \Rightarrow \frac{{{a^3} + {b^3}}}{2} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^3}[/TEX]
Lại có: [TEX]\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}[/TEX]
Nhân vế với vế của hai bất đẳng thức ta được bài toán thứ sáu:
Bài toán 6: Cho hai số thực dương [TEX]a,b[/TEX]. Chứng minh rằng: [TEX]\left( {{a^3} + {b^3}} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right) \ge {\left( {a + b} \right)^2}[/TEX]
Mặt khác: Từ bất đẳng thức [TEX]\frac{{{a^3} + {b^3}}}{2} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^3}[/TEX]
[TEX] \Rightarrow \frac{1}{{{{\left( {a + b} \right)}^3}}} \ge \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{{a^3} + {b^3}}}} \right) \Rightarrow {\left( {\frac{c}{{a + b}}} \right)^3} \ge \frac{1}{4}\left( {\frac{{{c^3}}}{{{a^3} + {b^3}}}} \right)[/TEX]
Tương tự:
[TEX]{\left( {\frac{b}{{c + a}}} \right)^3} \ge \frac{1}{4}\left( {\frac{{{b^3}}}{{{c^3} + {a^3}}}} \right)[/TEX]
[TEX]{\left( {\frac{a}{{b + c}}} \right)^3} \ge \frac{1}{4}\left( {\frac{{{a^3}}}{{{b^3} + {c^3}}}} \right)[/TEX]
Cộng ba bất đẳng thức với chú ý: [TEX]\frac{{{a^3}}}{{{b^3} + {c^3}}} + \frac{{{b^3}}}{{{c^3} + {a^3}}} + \frac{{{c^3}}}{{{a^3} + {b^2}}} \ge \frac{3}{2}[/TEX]
ta được bài toán thứ bảy:
Bài toán 7: Cho ba số thực dương [TEX]a,b,c[/TEX]. Chứng minh rằng: [TEX]{\left( {\frac{a}{{b + c}}} \right)^3} + {\left( {\frac{b}{{c + a}}} \right)^3} + {\left( {\frac{c}{{a + b}}} \right)^3} \ge \frac{3}{8}[/TEX]
Lại từ bất đẳng thức: [TEX]\frac{{{a^3} + {b^3}}}{2} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^3}[/TEX]
[TEX] \Rightarrow a + b \le \sqrt[3]{{4\left( {{a^3} + {b^3}} \right)}} \Rightarrow \frac{c}{{\sqrt[3]{{{a^3} + {b^3}}}}} \le \frac{{c\sqrt[3]{4}}}{{a + b}}[/TEX]
Tương tự:
[TEX]\frac{a}{{\sqrt[3]{{{b^3} + {c^3}}}}} \le \frac{{a\sqrt[3]{4}}}{{\sqrt[3]{{{b^3} + {c^3}}}}}[/TEX]
[TEX]\frac{b}{{\sqrt[3]{{{a^3} + {c^3}}}}} \le \frac{{b\sqrt[3]{4}}}{{\sqrt[3]{{{a^3} + {c^3}}}}}[/TEX]
Với [TEX]a,b,c[/TEX] là ba cạnh của một tam giác ta lại có: [TEX]\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} < 2[/TEX]
Cộng ba bất đẳng thức đầu, kết hợp với bất đẳng thức cuối ta được:
Bài toán 8: Cho [TEX]a,b,c[/TEX] là ba cạnh một tam giác. Chứng minh rằng: [TEX]\frac{a}{{\sqrt[3]{{{b^3} + {c^3}}}}} + \frac{b}{{\sqrt[3]{{{a^3} + {c^3}}}}} + \frac{c}{{\sqrt[3]{{{a^3} + {b^3}}}}} < 2\sqrt[3]{4}[/TEX]
)