Toán 9 Rút gọn

[truongtungduong655@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh rằng, nếu a, b > 0 thì ta luôn có :
[tex]\frac{a+2\sqrt{ab}+9b}{\sqrt{a}+3\sqrt{b}-2\sqrt[4]{ab}}-2\sqrt{b}=(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b})^2[/tex]

 

[iceghost]

Đặt $\sqrt[4]{a} = x$ và $\sqrt[4]{b} = y$
$VT = \dfrac{x^4 + 2x^2y^2 + 9y^4}{x^2 + 3y^2 - 2xy} - 2y^2$
$= \dfrac{x^4 + 2x^2y^2 + 9y^4 - 2x^2y^2 - 6y^4 + 4xy^3}{x^2 + 3y^2 - 2xy}$
$= \dfrac{x^4 + 4xy^3 + 3y^4}{x^2 + 3y^2 - 2xy}$
$= \dfrac{(x^2 + 2xy + y^2)(x^2 - 2xy + 3y^2)}{x^2 - 2xy + 3y^2}$ (bước này giải pt bậc 4 bằng casio rồi tách nhân tử)
$= (x + y)^2 = VP$

EDIT: Mình vừa tìm ra được 1 cách khác. Đang ghi...
Cách khác:
đpcm $\iff \dfrac{a + 2\sqrt{ab} + 9b}{\sqrt{a} + 3\sqrt{b} - 2 \sqrt[4]{ab}} = \sqrt{a} + 2\sqrt[4]{ab} + 3\sqrt{b}$
$\iff a + 2 \sqrt{ab} + 9b = (\sqrt{a} + 3\sqrt{b} - 2\sqrt[4]{ab})(\sqrt{a} + 3\sqrt{b} + 2\sqrt[4]{ab})$
$\iff a + 2\sqrt{ab} + 9b = (\sqrt{a} + 3 \sqrt{b})^2 - 4\sqrt{ab}$
$\iff a + 2 \sqrt{ab} + 9b = a + 9b + 2\sqrt{ab}$ (luôn đúng)
Vậy ta có đpcm