Toán 9 Rút gọn, chứng minh, tìm giá trị biểu thức

[Uyên_1509]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1, Rút gọn
[tex]\sqrt{4+\sqrt{10+2\sqrt{5}}}+\sqrt{4-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}[/tex]
2, Chứng minh
[tex]\frac{1}{1+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{9+\sqrt{11}}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{101}}>\frac{1}{4}[/tex]
3, Tính giá trị biểu thức
a, [tex]B=x^5+3x^4-3x^3+6x^2-20x+2020[/tex] với [tex]x=2-\sqrt{3}[/tex]
b, C=[tex]x^3+3x+2015[/tex] với [tex]x=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}[/tex]
c, Tính P=x+y sao cho [tex](x+\sqrt{x^2}+2019)(y+\sqrt{y^2+2019})[/tex]=2019

 

[iceghost]

1/ Đặt $A = \sqrt{4 + \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}} + \sqrt{4 - \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}}$
$A^2 = 4 + \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}} + 2\sqrt{4 + \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}} \cdot \sqrt{4 - \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}} + 4 - \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}$
$= 8 + 2 \sqrt{16 - (10 +2 \sqrt{5})}$
$= 8 + 2\sqrt{6 - 2\sqrt{5}}$
$= 8 + 2\sqrt{(\sqrt{5} - 1)^2}$
$= 8 + 2|\sqrt{5} - 1|$
$= 8 + 2(\sqrt{5} - 1)$
$= 6 + 2\sqrt{5}$
Do $A > 0$ nên $A = \sqrt{6 + 2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5} + 1)^2} = |\sqrt{5} + 1| = \sqrt{5} + 1$

3b) $x = \sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}}$
$x^3 = 2 + \sqrt{5} + 2 - \sqrt{5} + 3 \sqrt[3]{(2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5})} (\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}})$
$= 4 + 3 \sqrt[3] {4 - 5} \cdot x$
$= 4 - 3x$
$\implies x^3 + 3x - 4 = 0$
$\iff (x - 1)(x^2 + x + 4) = 0$
$\iff x = 1$
Thay vào $C$ ta được $C = 2019$