Toán 8 Rút gọn các biểu thức

[Mạnh.vn]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

 

[Darkness Evolution]

Ghép 2 đứa đầu với nhau, 2 đứa cuối với nhau
$$(a+b+c)^3-(b+c-a)^3-(c+a-b)^3-(a+b-c)^3$$
$= (a+b+c)^3-(b+c-a)^3-[(c+a-b)^3+(a+b-c)^3]$
$=(a+b+c-b-c+a)[(a+b+c)^2+(a+b+c)(b+c-a)+(b+c-a)^2]-(c+a-b+a+b-c)[(c+a-b)^2-(c+a-b)(a+b-c)+(a+b-c)^2]$
$=2a[(a+b+c+b+c-a)^2-(a+b+c)(b+c-a)-2a[(c+a-b-a-b+c)^2+(c+a-b)(a+b-c)]$
$=2a[4(b+c)^2-((b+c)^2-a^2)-4(c-b)^2-((a^2-(b-c)^2)]$
$=2a[3(b+c)^2+a^2-a^2-3(b-c)^2]$
$=2a \cdot 12bc =24abc$
(Còn cách nữa, edit sau)
.
.
.
Cách 2: Đặt $b+c-a=x; c+a-b=y; a+b-x=z$
$\Rightarrow x+y+z=a+b+c$
Khi đó, biểu thức trở thành $(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3$
$=(x+y+z)^3-x^3-(y^3+z^3)$
$=(y+z)[(x+y+z)^2+x(x+y+z)+x^2)-(y+z)(y^2-yz+z^2)$
$=(y+z)(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx+x^2+xy+xz+x^2-y^2+yz-z^2)$
$=(y+z)(3x^2+3xy+3xz+3yz)$
$=3(y+z)(x+y)(x+z)=3 \cdot 2a \cdot 2b \cdot 2c =24abc$

 

[Duy Quang Vũ 2007]

Đặt $$x=a+b-c,y=b+c-a,z=c+a-b \Rightarrow x+y+z=a+b+c$$
Do đó: $$(a+b+c)^3-(a+b-c)^3-(b+c-a)^3-(c+a-b)^3\\ =(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3\\ =[(x+y+z)-x][(x+y+z)^2+(x+y+z)x+x^2]-(y+z)(y^2-yz+z^2)\\ =(y+z)(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx+x^2+yx+zx+x^2)-(y+z)(y^2-yz+z^2)\\ =(y+z)(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx+x^2+yx+zx+x^2-y^2+yz-z^2)\\ =(y+z)(3x^2+3xy+3yz+3zx)\\ =3(y+z)(x^2+xy+yz+zx)\\ =3(y+z)[x(x+y)+z(x+y)]\\ =3(x+y)(y+z)(z+x)$$
Ta có: $$x+y=(a+b-c)+(b+c-a)=2b;\\ y+z=(b+c-a)+(c+a-b)=2c;\\ z+x=(c+a-b)+(a+b-c)=2a$$
Do đó: $$(a+b+c)^3+(a+b-c)^3+(b+c-a)^3+(c+a-b)^3=3.2a.2b.2c=24abc$$