Toán 9 Rút gọn biểu thức

[Lena1315]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Rút gọn biểu thức sau:

 

[shorlochomevn@gmail.com]

Rút gọn biểu thức sau: View attachment 123978

[tex]A=\sqrt{\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{(x+y)^2}+\sqrt{\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+\frac{1}{(x^2+y^2)^2}}}\\\\ =\sqrt{\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{(x+y)^2}+\sqrt{\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+\frac{1}{(x^2+y^2)^2}+2.(\frac{x^2+y^2-x^2-y^2}{x^2.y^2.(x^2+y^2)})}}\\\\ =\sqrt{\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{(x+y)^2}+\sqrt{(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}-\frac{1}{x^2+y^2})^2}}\\\\ =\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{(x+y)^2}}\\\\ =\sqrt{(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{x+y})^2}=|\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{x+y}|[/tex]

 

[iceghost]

ĐK là $x \ne 0$ và $y \ne 0$ và $x+y \ne 0$ nhỉ

Không biết bạn có từng làm chưa, nhìn mấy cái căn này mà mình lại nhớ đến 1 bài: Tính $\sqrt{\dfrac1{1^2} + \dfrac1{2^2} + \dfrac1{3^2}} + \ldots$.

Đại khái là bài đó dùng: khi $a + b + c = 0$ thì $\left(\dfrac1{a} + \dfrac1{b} +\dfrac1{c}\right)^2 = \dfrac1{a^2} + \dfrac1{b^2} + \dfrac1{c^2} + \dfrac{2}{ab} + \dfrac{2}{bc} + \dfrac2{ca} = \dfrac1{a^2} + \dfrac1{b^2} + \dfrac1{c^2}$ (do $\dfrac{2}{ab} + \dfrac{2}{bc} + \dfrac{2}{ca} = \dfrac{2(a+b+c)}{abc} = 0$)

Hình như bài này cũng giống vậy Thử nhé:

Do $(x^2) + (y^2) + [-(x^2 + y^2)] = 0$ nên $\left(\dfrac1{x^2} + \dfrac1{y^2} + \dfrac1{-(x^2+y^2)}\right)^2 = \dfrac1{x^4} + \dfrac1{y^4} + \dfrac1{[-(x^2+y^2)]^2}$
Suy ra $\left| \dfrac1{x^2} + \dfrac1{y^2} - \dfrac1{x^2+y^2}\right| = \sqrt{\dfrac1{x^4} + \dfrac1{y^4} + \dfrac1{(x^2 + y^2)^2}}$

Vậy là xong cái căn ở trong bây giờ mọi thứ nhìn cũng khá gọn rồi, ghi luôn $A$:
$A = \sqrt{\dfrac{1}{x^2 + y^2} + \dfrac{1}{(x+y)^2} + \left| \dfrac{x^4 + y^4 + x^2y^2}{x^2 y^2(x^2 + y^2)} \right|}$ (quy đồng lên để thấy trong trị tuyệt đối không âm)
$= \sqrt{\dfrac{x^4 + y^4 + 2x^2y^2}{x^2y^2(x^2+y^2)} + \dfrac{1}{(x+y)^2}}$ (bỏ trị tuyệt đối và quy đồng với phân thức đầu)
$= \sqrt{\dfrac{(x^2+y^2)^2}{x^2y^2(x^2 + y^2)} + \dfrac{1}{(x+y)^2}}$
$= \sqrt{\dfrac{x^2+y^2}{x^2y^2} + \dfrac{1}{(x+y)^2}}$
$= \sqrt{\dfrac{1}{y^2} + \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{(x+y)^2}}$ (nhìn quen không )
$= \left| \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}x - \dfrac{1}{x+y} \right|$
$= \left| \dfrac{x^2 + y^2 + xy}{xy(x+y)} \right|$

Tới đó là hết rút gọn được rồi, do không biết $x$ và $y$ dương hay âm nên không bỏ trị tuyệt đối được

 

[Quân (Chắc Chắn Thế)]

(x2+1y2+1−(x2+y2))2

Anh gõ lại đc ko ạ?
Dòng thứ 6 nha anh!!

@iceghost: Nhanh mắt quá Đã sửa, cảm ơn bạn!