Rút gọn biểu thức và tìm MAX

[cbtruong]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho biểu thức:

$Q=\frac{\sqrt{x}+1}{x-1}-\frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}-1}{x+\sqrt{x}+1}$

a) Rút gọn Q.
b) Tìm MAX của Q
Mình rút gọn được $\frac{2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}$. Còn lại nhờ các bạn làm câu b

 

[hien_vuthithanh]

Đk : $x \ge 0,x \not= 1$

$Q=\dfrac{2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}=\dfrac{2-t}{t^2+t+1} (t=\sqrt{x} ,t\ge 0 ,t \not= 1)$

$\rightarrow Qt^2+(Q+1)t+Q-2=0$ có nghiệm $t\ge 0 ,t \not= 1$

PT có nghiệm $t= 1$ khi $Q=\dfrac{2}{3} \rightarrow$ PT có nghiệm $t\not= 1$ khi $Q \not=\dfrac{2}{3}$

♦ $Q=0 \rightarrow t=2 \rightarrow x=4$

♦ $Q \not= 0 \rightarrow$ PT có nghiệm khi $\Delta =(Q+1)^2-4Q(Q-2) \ge 0 \leftrightarrow -3Q^2+10Q+1 \ge 0 \leftrightarrow \dfrac{5-2\sqrt{7}}{3}\le Q \le \dfrac{5+2\sqrt{7}}{3}$

So sánh 2 TH $\rightarrow max Q= \dfrac{5+2\sqrt{7}}{3}$ (tm $Q \not=\dfrac{2}{3} )$tại $t=... \rightarrow x=...$