$( \sqrt{2\sqrt{3}+\sqrt{8-2\sqrt{3}}}-\sqrt{\frac{1}{\sqrt{3}+1}} ):\sqrt{\frac{3\sqrt{3}+1}{2}}$
$=\frac{1}{2}$ $( 2\sqrt{\sqrt{2(4-\sqrt{3})}+2\sqrt{3}}$ $-\sqrt{2\sqrt{3}-1}):\sqrt{\frac{3\sqrt{3}+1}{2}}$
$=\left ( \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}}\right ):\sqrt{\frac{3\sqrt{3}+1}{2}}$
$=\sqrt{\frac{3\sqrt{3}+1}{2}}:\sqrt{\frac{3\sqrt{3}+1}{2}}=1$