Phần thuận:
Lấy trung điểm P,Q trên AC,BD.
Ta có: [tex]\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2}(\overleftarrow{PB}+\overrightarrow{PD})=\frac{1}{2}[\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CD})]=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB})[/tex]
Lại có: [tex]\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CD}\Rightarrow \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}\Rightarrow \overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB})[/tex]
Đặt [tex]\frac{AM}{AD}=\frac{CN}{CB}=x(0\leq x\leq 1)\Rightarrow \overrightarrow{PI}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{PN})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CN})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CN})=\frac{1}{2}x(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB})[/tex]
Từ đó [TEX]\overrightarrow{PI}=x\overrightarrow{PQ}[/TEX]. Mà [TEX]0 \leq x \leq 1[/TEX] nên I nằm trên đoạn PQ.
Phần đảo:
Lấy điểm M bất kì trên AD, I trên PQ sao cho [TEX]\frac{PI}{PQ}=\frac{AM}{AD}[/TEX] , N đối xứng với M qua I.
Đặt [TEX]\frac{PI}{PQ}=k(0 \leq k \leq 1)[/TEX]
Ta có: [TEX]\overrightarrow{PI}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{PN})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CN})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CN})[/TEX]
[TEX]\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB})[/TEX]
Vì [TEX]\overrightarrow{PI}=k\overrightarrow{PQ} \Rightarrow [/TEX] [tex]\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CN}=k\overrightarrow{AD}+k\overrightarrow{CB}\Rightarrow \overrightarrow{CN}=k\overrightarrow{CB}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} B,C,N th\\ \frac{CN}{CB}=k=\frac{AM}{AB} \end{matrix}\right.[/tex]
Vậy quỹ tích điểm I là đoạn PQ.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
