j) Đặt [tex]f(x)=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}+...+\frac{1}{3x+1}[/tex]
Ta thấy: [tex]f(1)=\frac{13}{12}> 1[/tex]
Giả sử [TEX]f(k) > 1[/TEX]. Ta sẽ chứng minh [TEX]f(k+1)>1[/TEX]
Thật vậy, [tex]f(k+1)-f(k)=\frac{1}{3k+2}+\frac{1}{3k+3}+\frac{1}{3k+4}-\frac{1}{k+1}[/tex]
Vì [tex]\frac{1}{3k+2}+\frac{1}{3k+4}> \frac{4}{3k+2+3k+4}=\frac{2}{3k+3}\Rightarrow f(k+1)-f(k)> \frac{2}{3k+3}+\frac{1}{3k+3}-\frac{1}{k+1}=0\Rightarrow f(k+1)> f(k)> 1[/tex]
Theo nguyên lí quy nạp ta có đpcm.
k) Đặt [tex]f(k)=\frac{1}{2}.\frac{3}{4}...\frac{2n+1}{2n+2}[/tex]
Ta thấy: [tex]f(1)=\frac{3}{8}< \frac{1}{\sqrt{7}}[/tex]
Giả sử [tex]f(k) < \frac{1}{\sqrt{3k+4}}[/tex]
Ta sẽ chứng minh [tex]f(k+1) > \frac{1}{\sqrt{3k+7}}[/tex]
Thật vậy, [tex]f(k+1)=f(k).\frac{2n+3}{2n+4}< \frac{1}{\sqrt{3k+4}}.\frac{2n+3}{2n+4}[/tex]
Việc của chúng ta bây giờ là chứng minh [tex]\frac{2k+3}{2k+4}< \sqrt{\frac{3k+4}{3k+7}}\Leftrightarrow 1-\frac{1}{2k+4}< \sqrt{1-\frac{3}{3k+7}}\Leftrightarrow 1-\frac{1}{k+2}+\frac{1}{(2k+4)^2}< 1-\frac{3}{3k+7}\Leftrightarrow \frac{1}{k+2}-\frac{3}{3k+7}> \frac{1}{(2k+4)^2}\Leftrightarrow \frac{1}{(k+2)(3k+7)}> \frac{1}{(2k+4)^2}\Leftrightarrow (k+2)(3k+7)< (2k+4)^2\Leftrightarrow k^2+4k+2>0[/tex](luôn đúng)
Vậy [tex]f(k+1)< \frac{1}{\sqrt{3k+4}}.\frac{2n+3}{2n+4}< \frac{1}{\sqrt{3k+4}}.\frac{\sqrt{3k+4}}{\sqrt{3k+7}}=\frac{1}{\sqrt{3k+7}}[/tex]
Theo nguyên lí quy nạp ta có đpcm.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
