Với $ \displaystyle n=3 $, dễ thấy khẳng định bài toán là đúng , vì $ \displaystyle \left( x \ ; \ y \right) = \left( 1 \ ; \ 1 \right) $ thỏa $ \displaystyle 7x^2+y^2 = 2^{1} $.
Giả sử bài toán đúng với $ \displaystyle n = k \ge 3 $, tức là phương trình
$$ 7 x^2+y^2 = 2^k $$
có nghiệm nguyên dương lẻ $ \displaystyle \left( x_k \ ; \ y_k \right) $.
Ta chứng minh bài toán cũng đúng với $ \displaystyle n = k+1 $.
Xét các cặp số
$$ \left( \frac{x_k+y_k}{2} \ ; \ \frac{\left| 7x_k - y_k \right|}{2} \right) \ ; \
\left( \frac{ \left|x_k-y_k \right|}{2} \ ; \ \frac{7x_k + y_k }{2} \right) $$
Dễ thấy chúng đều là nghiệm của phương trình
$$ 7x^2+y^2=2^{k+1} $$
Bây giờ nếu $ \displaystyle x_k = 2a+1 \ ; \ y_k= 2b+1 $, với $ \displaystyle a,b \in \mathbb{N} $. Thì
$$ \frac{x_k+y_k}{2}=a+b+1 \ ; \ \frac{\left| 7x_k - y_k \right|}{2}= \left| 7a-b+3 \right|$$
$$ \frac{ \left|x_k-y_k \right|}{2}=\left| a-b \right| \ ; \ \frac{7x_k + y_k }{2}= 7a+b+4$$
Nếu $ \displaystyle a,b $ cùng tính chẵn lẻ thì
$$ \left( \frac{x_k+y_k}{2} \ ; \ \frac{\left| 7x_k - y_k \right|}{2} \right) $$
là cặp nghiệm lẻ.
Nếu $ \displaystyle a,b $ khác tính chẵn lẻ thì
$$ \left( \frac{ \left|x_k-y_k \right|}{2} \ ; \ \frac{7x_k + y_k }{2} \right) $$
là cặp nghiệm lẻ.
Bài toán đúng với $ \displaystyle n=k+ 1$.
Theo nguyên lý quy nạp, ta có điều cần chứng minh .
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn