Toán 11 Qui nạp toán học

[Atepai]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

a1=√2 , an+1=√(2+an) . CM với mọi n thuộc N* ta có an = 2 cos(pi/2^(n+1))

 

[Kaito Kidㅤ]

Với n=1 thì [tex]a_1=2.cos\frac{\pi}{4}=\sqrt{2}[/tex] (Đúng)
Giả sử đúng với $n=k >1$ có [tex]a_k=2cos\frac{\pi}{2^{n+1}}[/tex]
Cần CM nó đúng với $n=k+1$. Ta có:
[tex]a^2_{k+1}=2+a_k=2+2cos\frac{\pi}{2^{k+1}}=2(cos0+cos\frac{\pi}{2^{k+1}})=4cos^2\frac{\pi}{2^{k+2}}[/tex]
Dễ dàng nhận thấy $a_f>0$ $\forall f \in N^*$
Nên $a_{k+1}=2cos\frac{\pi}{2^{k+2}}$
Vậy nó luôn đúng với $n=k+1$ .Suy được dpcm