Quan hệ chia hết trên Z

[huongbloom]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Chứng minh rằng 4 số nguyên liên tiếp không chia hết cho 4.
Bài 2: Tìm các chữ số x,y thỏa mãn:
a)

b)

Bài 3: Cho 2015a+2012b và 78a+10b cùng chia hết cho 11. CMR a,b cùng chia hết cho 11.
Bài 4: CMR:

Bài 5: Cho A=

nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên. Hỏi a,b,c có nhất thiết phải là số nguyên hay không?
Bài 6: Tìm x,y nguyên thỏa mãn:
a) x+y=xy
b) x-2y=xy
c) x(y+2)-y+1=0
d)

Bài 7: CMR:

Bài 8: CMR

không chia hết cho 4, không chia hết cho 5

 

[vanmanh2001]

Bài 1 , Gọi 4 số nguyên liên tiếp là a , a+1 , a+2 , a+3
Tổng 4 số là = 4a + 6
Vì $4a \vdots 4 $
6 không $\vdots 4$ vậy tổng 4 số trên không chia hết cho 4
Bài 3 Cho 2015a+2012b và 78a+10b cùng chia hết cho 11. CMR a,b cùng chia hết cho 11.
$2013 a + 2013b + 2a-b = 2013(a+b) + 2a-b \vdots 11$
$2013(a+b) \vdots 11$ \Rightarrow $2a-b \vdots 11 (1)$

$77a + 11b +a - b = 11(7a + b) + a - b (2)$
Tương tự được $a-b \vdots 11$
Từ (1) (2) \Rightarrow $a , b \vdots 11$
Bài 6
$a) x+y = xy$
$x(1-y) + y = 0$
$x(1-y) + (y-1) = -1$
$(1-x)(y-1) = -1 $
Đến đây thì chắc dễ rồi
$b) x - 2y = xy$
$x(1-y) - 2y + 2 = 2$
$-x ( y-1) - 2(y-1) = 2$
$(-x - 2)(y-1) = 2 = 1.2 = 2.1 =...$
$c)x(y+2) - y - 2 = -3$
$(x-1)(y+2) = -3 = -1.3 = -3.1$
$d) x^2 - 2xy + x - 2y = 2015$
$x(x - 2y) + x - 2y = 2015$
$(x+1)(x-2y) = 2015 = 1.2015 = 2015.1 $
Bài 7
$2007^{2009} + 2009^{2007} = 2007^{2009} + 1 +2009 ^{2007} - 1$
$= 2008 (...) + 2008 (...)$
Vậy $2007^{2009} + 2009^{2007} \vdots 2008$
Bài 8
$n^2 + n + 1 = n(n+1) + 1$
Vì $n(n+1) \vdots 2$ ( Tích 2 số nguyên liên tiếp )
$n^2 + n + 1$ không chia hết cho 4
$n^2 + n + 1$ lẻ nên tận cùng khác 0 (1)
Tích 2 số liên tiếp tận cùng khác 4 \Rightarrow $n^2 + n + 1$ tận cùng khác 5 (2)
Từ (1)(2) \Rightarrow $n^2 + n + 1$ không chia hết cho 5

 

[phamhuy20011801]

$6,$
$a, x+y=xy \leftrightarrow xy-x-y+1=1 \leftrightarrow (x-1)(y-1)=1=1.1=-1.(-1)$
$b, x-2y=xy \leftrightarrow xy-x+2y-2=2 \leftrightarrow (x+2)(y-1)=2=2.1=-2.(-1)=1.2=-1.(-2)$
$c, x(y+2)-y+1=0 \leftrightarrow x(y+2)-(y+2)=-1 \leftrightarrow (x-1)(y+2)=-3$
$d, x^2-xy+x-2y=2015 \leftrightarrow (x+1)(x-2y)=2015$

 

[pinkylun]

Bài 6:

a) $x+y=xy$

$=>x-xy+y=0$

$=>x(1-y)-1+y=-1$

$=>x(1-y)-(1-y)=-1$

$=>(x-1)(1-y)=-1$

đến đây em kẻ bảng làm dể rồi nhá
sặc -_- tớ vừa đọc đề cậu đã làm rôi hử Huy =))

 

[iceghost]

Bài 2

a)$\overline{13x2xy}$ $\vdots 45$

Ta thấy : $45 = 5.9$
Vậy số cần tìm là bội của 5 và 9 nên có tận cùng là 0 hoặc 5, có tổng các chữ số chia hết cho 9

+ Xét y = 0 có :
$1 + 3 + x + 2 + x + y$ $\vdots$ 9
$=6+2x$
\Rightarrow $2x = 9 - 6 = 3$ (loại)
$2x = 18 - 6 = 12$ \Rightarrow x = 6
$2x = 27 - 6 = 21$ ( loại )
$2x = 36 - 6 = 30$ \Rightarrow x = 15
...
Do x là số có một chữ số nên x = 6
\Rightarrow $\overline{13x2xy} = 136260$

+Xét y = 5 có :
$1 + 3 + x + 2 + x + y$
$=6+2x + 5=11+2x$
\Rightarrow $2x = 18 - 11 = 7$ (loại)
$2x = 27 - 11 = 16$ \Rightarrow x = 8
$2x = 36 - 11 = 25$ (loại)
$2x = 45 - 11 = 34$ \Rightarrow x = 17
...
Do x là số có một chữ số nên x = 8
\Rightarrow $\overline{13x2xy} = 138285$
hay $\overline{13x2xy} = 136260$


b) $\overline{x75y}$ $\vdots 12$

Ta thấy : $12 = 3.4$
Vậy số cần tìm là bội của 3 và 4 nên có hai chữ số tận cùng chia hết cho 4, có tổng các chữ số chia hết cho 3

Ta có :$\overline{5y}$ $\vdots 4$
\Rightarrow $\overline{5y} = 52$ \Leftrightarrow y = 2
hay $\overline{5y} = 56$ \Leftrightarrow y = 6

+Xét y = 2 có :
$x + 7 + 5 + 2$ $\vdots$ 3
$= x+ 14$
\Rightarrow x = 15 - 14 = 1
x = 18 - 14 = 4
x = 21 - 14 = 7
x = 24 - 14 = 10
...
Do x là số có 1 chữ số
nên x = 1
x = 4
x = 7

+Xét y = 6 có :
$x + 7 + 5 + 6$ $\vdots$ 3
$= x + 18$
\Rightarrow x = 21 - 18 = 3
x = 24 - 18 = 6
x = 27 - 18 = 9
x = 30 - 18 = 12
...
Do x là số có 1 chữ số
nên x = 3
x = 6
x = 9

Vậy $\overline{x75y} = 1752$
$\overline{x75y} = 4752$
$\overline{x75y} = 7752$
$\overline{x75y} = 3756$
$\overline{x75y} = 6756$
$\overline{x75y} = 9756$

4,
Mới coi lại đồng dư nên không chắc đâu nhé :|

$5^n(5^n+1)-6^n(3^n+2^n)$
$=25^n + 5^n - 18^n - 12^n$
$=(25^n-18^n)-(12^n-5^n)$

Ta thấy : $25 \equiv 18$ ( mod 7 ) \Rightarrow $25^n - 18^n$ $\vdots$ 7
$12 \equiv 5$ (mod 7) \Rightarrow $12^n - 5^n$ $\vdots$ 7
\Rightarrow $(25^n-18^n)-(12^n-5^n)$ $\vdots$ 7 (1)

Mặt khác : $25^n + 5^n - 18^n - 12^n = (25^n - 12^n) - (18^n - 5^n)$
Mà $25 \equiv 12$ ( mod 13 ) \Rightarrow $25^n - 12^n$ $\vdots$ 13
$18 \equiv 5$ (mod 13) \Rightarrow $18^n - 5^n$ $\vdots$ 13
\Rightarrow $(25^n-12^n)-(18^n-5^n)$ $\vdots$ 13 (2)

Từ (1), (2) \Rightarrow $25^n + 5^n - 18^n - 12^n$ $\vdots$ 91
hay $5^n(5^n+1)-6^n(3^n+2^n)$ $\vdots$ 91

P/s : sao huongbloom không tự xác nhận nhỉ :|

 

[sonsuboy]

Gọi 4 số nguyên liên tiếp là a,a+1,a+2,a+3
Tổng 4 số nguyên là:a+(a+1)+(a+2)+(a+3)=4a+6
do 4a chia hết cho 4
mà 6 không chia hết cho 4
\Rightarrow 4a+6 không chia hết cho 4
\Rightarrow tổng 4 số nguyên liên tiếp không chia hết cho 4