Toán 9 Qua M vẽ dây $DE \bot OM $. Tiếp tuyến tại D và E của (O) cắt nhau tại F. C/minh $\Delta AFO$ vuông

[Nguyen Ngoc Lam]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài (O). Từ A kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC đến (O) (B, C là tiếp điểm). AO cắt BC tại H. Gọi M là điểm bất kỳ thuộc đoạn thẳng HC.
a) Chứng minh $MB . MC = R^2 – OM^2$
b) Qua M vẽ dây DE [TEX]\bot[/TEX] OM. Tiếp tuyến tại D và E của (O) cắt nhau tại F. Chứng minh [TEX]\triangle[/TEX]AFO vuông

 

[Ann Lee]

a) Dễ chứng minh H là trung điểm của BC
Ta có: [tex]MB.MC\\=(BH+MH).(CH-HM)\\=BH^2-HM^2\\=(OB^2-OH^2)-HM^2\\=OB^2-(OH^2+HM^2)\\=R^2-OM^2(dpcm)[/tex]
b) Vì Tiếp tuyến tại D và E của (O) cắt nhau tại F nên chừng minh được [tex]OF\perp DE[/tex]
Lại có: [tex]OM\perp DE(gt)[/tex]
Suy ra 3 điểm [TEX]F,M,O[/TEX] thẳng hàng
Có [tex]EM^2=MO.MF[/tex]; [tex]ME.MD=MC.MB\Leftrightarrow MC.MB=ME^2[/tex]
[tex]\Rightarrow MO.MF=MC.MB\\\Leftrightarrow \frac{MO}{MC}=\frac{MB}{MF}[/tex]
[tex]\Delta MOC\sim \Delta MBF(c-g-c)[/tex]
[tex]\Rightarrow \widehat{MOC}=\widehat{MBF}(1)[/tex]
Ta có tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp
[tex]\Rightarrow \widehat{ABC}=\widehat{AOC}(2)[/tex]
Từ (1) và (2) suy ra: [tex]\widehat{ABF}=\widehat{AOF}[/tex]
Suy ra tứ giác AFOB là tứ giác nội tiếp
[tex]\Rightarrow \widehat{AFO}=180^{\circ}-\widehat{ABO}=90^{\circ}[/tex]
[tex]\Rightarrow AFO[/tex] vuông tại F (dpcm)