Toán 10 pt vô tỉ chứa tham số khó

[le thi khuyen01121978]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm các giá trị thực của m để pt sau có nghiệm thực:
[tex]\sqrt{x+1}+\sqrt{2+3m-x}=m[/tex] (1)
nhận xét: m<0, pt vô nghiệm, ta chỉ xét m>=0
ĐK:[tex]-1\leq x\leq 2+3m[/tex]
(1)<=>[tex]2\sqrt{(x+1)(2+3m-x)}=m^{2}-3m-3\leq (x+1)+(2+3m-x)=3+3m[/tex](2)
Do đó, pt đã cho có nghiệm khi và chỉ khi m thỏa mãn:
[tex]\left\{\begin{matrix} m\geq 0\\m^{2}-3m-3> 0 \\ m^{2}-3m-3\leq 3m+3 \end{matrix}\right.[/tex]
chỗ màu đỏ, mình ko hiểu lắm với tại sao điều kiện (2) lại làm pt có nghiệm chứ?
Mong mọi người giúp đỡ, mình cảm ơn!

 

[7 1 2 5]

[tex]m^2-3m-3=2\sqrt{(x+1)(2+3m-x)}\geq 0[/tex]

Tìm các giá trị thực của m để pt sau có nghiệm thực:
[tex]\sqrt{x+1}+\sqrt{2+3m-x}=m[/tex] (1)
nhận xét: m<0, pt vô nghiệm, ta chỉ xét m>=0
ĐK:[tex]-1\leq x\leq 2+3m[/tex]
(1)<=>[tex]2\sqrt{(x+1)(2+3m-x)}=m^{2}-3m-3\leq (x+1)+(2+3m-x)=3+3m[/tex](2)
Do đó, pt đã cho có nghiệm khi và chỉ khi m thỏa mãn:
[tex]\left\{\begin{matrix} m\geq 0\\m^{2}-3m-3> 0 \\ m^{2}-3m-3\leq 3m+3 \end{matrix}\right.[/tex]
chỗ màu đỏ, mình ko hiểu lắm với tại sao điều kiện (2) lại làm pt có nghiệm chứ?
Mong mọi người giúp đỡ, mình cảm ơn!

 

[le thi khuyen01121978]

[tex]m^2-3m-3=2\sqrt{(x+1)(2+3m-x)}\geq 0[/tex]

sao lại [tex]\geq[/tex] hả bạn/

 

[7 1 2 5]

Thì bởi vì cái đó không âm thôi mà bạn.

sao lại [tex]\geq[/tex] hả bạn/

Ở cái ĐKXĐ còn phải có điều kiện [tex]3m+2\geq -1\Rightarrow m\geq -1[/tex]

 

[iceghost]

Tìm các giá trị thực của m để pt sau có nghiệm thực:
[tex]\sqrt{x+1}+\sqrt{2+3m-x}=m[/tex] (1)
nhận xét: m<0, pt vô nghiệm, ta chỉ xét m>=0
ĐK:[tex]-1\leq x\leq 2+3m[/tex]
(1)<=>[tex]2\sqrt{(x+1)(2+3m-x)}=m^{2}-3m-3\leq (x+1)+(2+3m-x)=3+3m[/tex](2)
Do đó, pt đã cho có nghiệm khi và chỉ khi m thỏa mãn:
[tex]\left\{\begin{matrix} m\geq 0\\m^{2}-3m-3> 0 \\ m^{2}-3m-3\leq 3m+3 \end{matrix}\right.[/tex]
chỗ màu đỏ, mình ko hiểu lắm với tại sao điều kiện (2) lại làm pt có nghiệm chứ?
Mong mọi người giúp đỡ, mình cảm ơn!

Ý tưởng là kẹp $\min \leqslant VT \leqslant \max$: $$0 \leqslant 2\sqrt{(x + 1)(2 + 3m - x)} \leqslant (x + 1) + (2 + 3m - x) = 3 + 3m$$
Suy ra $0 \leqslant m^2 - 3m - 3 \leqslant 3 + 3m$. Đây là 2 điều kiện cuối trong ngoặc (có dấu bằng nhé, giải trong bài bị sai thì phải)

Mình không biết bạn lấy lời giải này ở đâu, nhưng giải kiểu này khá mạo hiểm, mất nghiệm như chơi nếu không kỹ.
Chẳng hạn, nếu kẹp mà chẳng may 2 đầu không phải là $\min$ và $\max$ như $\min \leqslant VT \leqslant \max + 1$ thì sẽ ra kết quả khác ngay. Cần đảm bảo 2 đầu phải là $\min$ và $\max$ (ngoài ra hàm liên tục nữa, cách này giống như kiểu tư duy của lớp 12...)

Spoiler

Nếu là mình, mình sẽ làm theo kiểu:
Đặt $a = \sqrt{x + 1}$ và $b = \sqrt{2 + 3m - x}$
Khi đó $a + b = m$ và $a^2 + b^2 = 3 + 3m$
Suy ra $2ab = (a + b)^2 - (a^2 + b^2) = m^2 - 3m - 3$
Khi đó, theo định lý Vi-ét đảo thì $a$ và $b$ là 2 nghiệm của pt $X^2 - mX + \dfrac12 (m^2 -3m - 3) = 0$
Để pt ban đầu có nghiệm thực thì phương trình trên phải có 2 nghiệm không âm
Điều kiện để có 2 nghiệm: $\Delta = m^2 - 2(m^2 - 3m - 3) \geqslant 0$ (đây là điều kiện thứ 3 trong bài)
Để 2 nghiệm đều không âm: $\begin{cases} m \geqslant 0 \\ \dfrac12 (m^2 - 3m - 3) \geqslant 0 \end{cases}$ (điều kiện 1 và điều kiện 2)
Cá nhân mình thích cách này hơn