[tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=z[/tex]
Nếu đề là trên tập số nguyên dương thì mình sẽ giải theo cách sau $:$
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=z$ $(*)$ $\Leftrightarrow \frac{x+y}{xy}=z$$.$ Do $z \in \mathbb{Z}$ nên $\frac{x+y}{xy} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow (x+y) \vdots xy$
Ta có $:$ $\left\{\begin{matrix} (x+y) \vdots xy& \\ xy \vdots x & \\ x \vdots x & \end{matrix}\right. \Rightarrow y \vdots x$ $(1)$$.$ Tương tự ta có $:$ $x \vdots y$ $(2)$
$(1)(2) \Rightarrow x=y$$.$ Khi đó $:$ $(*) \Leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{x}=z \Leftrightarrow \frac{2}{x}=z \Leftrightarrow xz=2 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} x=1 & \\ z=2 & \end{matrix}\right. & \\ \left\{\begin{matrix} x=2 & \\ z=1 & \end{matrix}\right. & \end{matrix}\right.$
Vậy phương trình có tập nghiệm $S=\{(1;1;2);(2;2;1)\}$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
