Toán 12 Pt logarit

[Love Loli]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Giải phương trình [tex]3^{log_{4}x}+x^{log_{4}5}=2x[/tex]
Mình đặt [tex]t=log_{4}x[/tex] sau đó được phương trình:
[tex]3^{t}+5^{t}=2.4^{t}[/tex] nhưng mình không biết giải tiếp thế nào, ai có cách khác hay không giúp mình với

 

[Kaito Kidㅤ]

$DK:x>0$
[tex]3^{log_{4}x}+x^{log_{4}5}=2x\\\Leftrightarrow 3^{log_{4}x}+5^{log_{4}x}=2.4^{log_4x}[/tex]
Đặt $t=log_4x$
[tex]PT\Leftrightarrow 5^t+3^t=2.4^t\\\Leftrightarrow 5^t-4^t=4^t-3^t (1)[/tex]
Giả sử $(1)$ có nghiệm $t=a$ khi đó:
Xét hàm [tex]f(x)=(x+1)^a-x^a,x>0\\f'(x)=a.(x+1)^{a-1}-a.x^{a-1}[/tex]
Theo $(1)$ thì ta có $f(4)=f(3)$; Hàm này liên tục và có đạo hàm trên $[3;4]$
Đủ 3 điều kiện trên, áp dụng định lí Rolle có: Tồn tại 1 số $c \in [3;4]$ sao cho $f'(c)=0$ hay:
[tex]a.(c+1)^{a-1}-a.c^{a-1}=0\\\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} a=0\\(c+1)^{a-1}=c^{a-1} \end{array}\right.\\\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} a=0\\a=1 \end{array}\right.[/tex]
Với $a=0$ thì [tex]log_4x=0\Leftrightarrow x=1[/tex]
Với $a=1$ thì [tex]log_4x=1\Leftrightarrow x=4[/tex]